Question

5．已知f（x）=sinx-cosx-ax，其中a∈R．
（1）若f（x）在x=0處取得極值，求實數(shù)a的值．
（2）若f（x）在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過導(dǎo)函數(shù)為0，求解a即可．
（2）轉(zhuǎn)化條件為導(dǎo)函數(shù)的值非負(fù)，推出a 滿足的表達式，然后利用三角函數(shù)的最值求解即可．

解答 解：（1）f'（x）=cosx+sinx-a，（2分）
由f'（0）=0可得1-a=0，a=1；（4分）
經(jīng)檢驗，a=1滿足題意．（5分）
（2）∵函數(shù)f（x）在$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$單調(diào)遞增．∴f'（x）=cosx+sinx-a≥0在$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$上恒成立．（7分）
即a≤cosx+sinx在$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$上恒成立．即a≤（cosx+sinx）_min
∵$y=cosx+sinx=\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}），x∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$，y_min=-1（10分）∴a≤-1．（11分）
檢驗，a=-1時，f'（x）=cosx+sinx+1=0，$x∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$，僅在$x=-\frac{π}{2}$處取得．所以滿足題意．
∴a≤-1．（12分）

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，恒成立問題以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查計算能力．