Question

5．在數(shù)列{a_n}中，a_n=$\frac{2{{S}_{n}}^{2}}{2{S}_{n}-1}$（n≥2），a₁=1，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）數(shù)列{a_n}中，a_n=$\frac{2{{S}_{n}}^{2}}{2{S}_{n}-1}$（n≥2），a₁=1，（S_n-S_n-1）（2S_n-1）=2${S}_{n}^{2}$，化為：$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得S_n．n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，可得a_n．
（2）由（1）可得：數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答 解：（1）數(shù)列{a_n}中，a_n=$\frac{2{{S}_{n}}^{2}}{2{S}_{n}-1}$（n≥2），a₁=1，
∴（S_n-S_n-1）（2S_n-1）=2${S}_{n}^{2}$，化為：$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是等差數(shù)列，公差為2，首項(xiàng)為1．
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1．
∴S_n=$\frac{1}{2n-1}$．
∴n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n-3}$=$\frac{-2}{（2n-1）（2n-3）}$，n=1時也成立．
∴a_n=$\frac{-2}{（2n-1）（2n-3）}$．
（2）由（1）可得：數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=$\frac{1}{2n-1}$．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．