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【題目】設f(x)是定義在R上的函數,對任意實數m,n,都有f(m)f(n)=f(m+n),且當x<0時,0<f(x)<1.
(1)證明:①f(0)=1;②當x>0時,f(x)>1;③f(x)是R上的增函數;
(2)設a∈R,試解關于x的不等式f(x2﹣3ax+1)f(﹣3x+6a+1)≤1.

【答案】
(1)證明:①在f(m)f(n)=f(m+n)中,令m=n=0,

得f(0)f(0)=f(0+0)即f(0)=f(0)2,∴f(0)=0或1,

若f(0)=0,則當x>0時,有f(x)f(0)=f(x)=0與題設矛盾,

∴f(0)=1;

②當x>0時,﹣x<0,由已知得0<f(﹣x)<1,

又f(0)=f[x+(﹣x)]=f(x)f(﹣x)=1,0<f(﹣x)<1,∴

即x>0時,f(x)>1;

③任取x1<x2,由①②及已知條件知x∈R時,f(x)>0,

,∵x2﹣x1>0,∴f(x2﹣x1)>1,又因為f(x1)>0,

∴f(x2)>f(x1),

∴y=f(x)在定義域R上為增函數


(2)解:f(x2﹣3ax+1)f(﹣3x+6a+1)=f(x2﹣3ax+1﹣3x+6a+1)=f[x2﹣3(a+1)x+2(3a+1)],

又f(0)=1,f(x)在R上單調遞增,

∴原不等式等價于x2﹣3(a+1)x+2(3a+1)≤0,

不等式可化為(x﹣2)[x﹣(3a+1)]≤0,

∴當2<3a+1,即 時,2≤x≤3a+1;

當2=3a+1,即 時,x=2;

當2>3a+1,即 時,3a+1≤x≤2


【解析】(1)①利用賦值法,轉化求解即可.②判斷函數的范圍,通過f(0)=f[x+(﹣x)]轉化求解證明即可.③利用函數的單調性的定義證明即可.(2)利用已知條件化簡表達式,利用函數的單調性,推出不等式,然后求解不等式的解集.

練習冊系列答案
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【題目】根據下列條件,分別求直線方程:
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【題目】某學校高三年級有學生500人,其中男生300人,女生200人,為了研究學生的數學成績是否與性別有關,現采用分層抽樣的方法,從中抽取了100名學生,先統計了他們期中考試的數學分數,然后按性別分為男、女兩組,再將兩組學生的分數分成5組:[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150]分別加以統計,得到如圖所示的頻率分布直方圖.
附:K2=
(1)從樣本中分數小于110分的學生中隨機抽取2人,求兩人恰好為一男一女的概率;
(2)若規(guī)定分數不小于130分的學生為“數學尖子生”,請你根據已知條件完成2×2列聯表,并判斷是否有90%的把握認為“數學尖子生與性別有關”?

P(K2≥k0

0.100

0.050

0.010

0.001

k0

2.706

3.841

6.635

10.828

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