Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

2

2

，左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，且|F₁F₂|=2．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)F₁的直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=

3

2

2

，求△AF₂B的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）利用橢圓離心率為

2

2

，|F₁F₂|=2，求出幾何量，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）分類討論，設(shè)直線AB的方程為y=k（x+1），代入橢圓方程，利用|AB|=

3

2

2

，結(jié)合韋達(dá)定理，求出k的值，再求出點(diǎn)F₂到直線AB的距離，|AB|，即可求△AF₂B的面積．

解答： 解：（Ⅰ）由已知2c=2，所以c=1．…（1分）
因?yàn)闄E圓離心率為

2

2

，所以

c

a

=

2

2

．…（2分）
所以a=

2

．…（3分）
所以b=

a2-c2

=1，…（4分）
故橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．…（5分）
（Ⅱ）若直線AB的方程為x=-1，則|AB|=

2

，不符合題意．
設(shè)直線AB的方程為y=k（x+1），代入橢圓方程消去y得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，…（6分）
顯然△＞0成立，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-

4k2

1+2k2

，x₁x₂=

2k2-2

1+2k2

                       …（7分）
所以|AB|=

1+k2

•|x₁-x₂|=

1+k2

•

16k4 (1+2k2)2 - 4(2k2-2) 1+2k2

=

2 2 (1+k2)

1+2k2

．…（9分）
由已知

2 2 (1+k2)

1+2k2

=

3 2

2

，解得k=±

2

2

．…（10分）
當(dāng)k=

2

2

時(shí)，直線AB的方程為y=

2

2

（x+1），即x-

2

y+1=0，
點(diǎn)F₂到直線AB的距離d=

|1+1|

1+2

=

2 3

3

．…（11分）
所以△AF₂B的面積=

1

2

|AB|d=

6

2

．…（12分）
當(dāng)k=-

2

2

時(shí)，△AF₂B的面積也等于

6

2

．
綜上，△AF₂B的面積等于

6

2

．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查三角形面積的計(jì)算，屬中檔題．