5.某商品在近30天內(nèi)每件的銷售價(jià)格p(元)與時(shí)間t(天)的函數(shù)關(guān)系是$p=\left\{\begin{array}{l}t+20,0<t<25,t∈N\\-t+100,25≤t≤30,t∈N\end{array}\right.$,該商品的日銷售量Q(件)與時(shí)間t(天)的函數(shù)關(guān)系是Q=-t+40(0<t≤30,t∈N).
(1)求這種商品的日銷售金額的解析式;
(2)求日銷售金額的最大值,并指出日銷售金額最大的一天是30天的第幾天?

分析 (1)在解答時(shí),應(yīng)充分考慮自變量的范圍不同銷售的價(jià)格表達(dá)形式不同,分情況討論即可獲得日銷售金額y關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式;
(2)根據(jù)分段函數(shù)不同段上的表達(dá)式,分別求最大值最終取較大者分析即可獲得問題解答.

解答 解:(1)由題意可知:y=$\left\{\begin{array}{l}{(t+20)(-t+40),(0<t<25,t∈{N}_{+})}\\{(-t+100)(-t+40),(25≤t≤30,t∈{N}_{+})}\end{array}\right.$.
(2)當(dāng)0<t<25,t∈N+時(shí),y=(t+20)(-t+40)=-t2+20t+800=-(t-10)2+900.
∴t=10(天)時(shí),ymax=900(元),
當(dāng)25≤t≤30,t∈N+時(shí),y=(-t+100)(-t+40)=t2-140t+4000=(t-70)2-900,
而y=(t-70)2-900,在t∈[25,30]時(shí),函數(shù)遞減.
∴t=25(天)時(shí),ymax=1125(元).
∵1125>900,∴ymax=1125(元).
故所求日銷售金額的最大值為1125元,且在最近30天中的第25天日銷售額最大.

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是分段函數(shù)應(yīng)用類問題.在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了分類討論的思想、二次函數(shù)球最值得方法以及問題轉(zhuǎn)化的能力.值得同學(xué)們體會(huì)反思.

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