Question

18．已知公差為0的等差數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，且a₁，a₃-2，a₉成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項(xiàng)和為S_n，并求使得S_n＞$\frac{2}{n}$+$\frac{1}{4}$成立的最小正整數(shù)n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程，求出d的值，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出a_n；
（2）由（1）化簡$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，利用裂項(xiàng)相消法求出S_n，化簡S_n＞$\frac{2}{n}$+$\frac{1}{4}$求出n的范圍，即可求出最小正整數(shù)n．

解答 解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，
由a₁，a₃-2，a₉成等比數(shù)列得，（2d-1）²=1×（1+8d），
則d²-3d=0，解得d=3或d=0（舍去），
所以a_n=1+（n-1）d=3n-2；
（2）由（1）得，$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}$），
則S_n=$\frac{1}{3}$[（1-$\frac{1}{4}$）+（$\frac{1}{4}-\frac{1}{7}$）+…+（$\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}$）]
=$\frac{1}{3}$（$1-\frac{1}{3n+1}$）=$\frac{n}{3n+1}$，
所以S_n＞$\frac{2}{n}$+$\frac{1}{4}$為$\frac{n}{3n+1}$＞$\frac{2}{n}$+$\frac{1}{4}$，化簡得，
n²-25n-8＞0，又n是正整數(shù)，解得n≥26，
所以S_n=$\frac{n}{3n+1}$，使得S_n＞$\frac{2}{n}$+$\frac{1}{4}$成立的最小正整數(shù)n為26．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比中項(xiàng)的性質(zhì)、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，考查了化簡、變形能力．