16.已知曲線C的極坐標方程為${ρ^2}=\frac{9}{{{{cos}^2}θ+9{{sin}^2}θ}}$,以極點為平面直角坐標系的原點,極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系.
(1)求曲線C的普通方程;
(2)A、B為曲線C上兩個點,若OA⊥OB,求$\frac{1}{{|OA{|^2}}}+\frac{1}{{|OB{|^2}}}$的值.

分析 (1)由${ρ^2}=\frac{9}{{{{cos}^2}θ+9{{sin}^2}θ}}$,得ρ2cos2θ+9ρ2sin2θ=9,將x=ρcosθ,y=ρsinθ代入,能求出曲線C的普通方程.
(2)由${ρ^2}=\frac{9}{{{{cos}^2}θ+9{{sin}^2}θ}}$,得$\frac{1}{ρ^2}=\frac{{{{cos}^2}θ}}{9}+{sin^2}θ$,由OA⊥OB,設(shè)A(ρ1,α),則B點的坐標可設(shè)為$({ρ_2},α±\frac{π}{2})$,由此能求出$\frac{1}{{|OA{|^2}}}+\frac{1}{{|OB{|^2}}}$的值.

解答 解:(1)由${ρ^2}=\frac{9}{{{{cos}^2}θ+9{{sin}^2}θ}}$,得ρ2cos2θ+9ρ2sin2θ=9,
將x=ρcosθ,y=ρsinθ代入,
得到曲線C的普通方程是$\frac{x^2}{9}+{y^2}=1$.                 …(5分)
(2)因為${ρ^2}=\frac{9}{{{{cos}^2}θ+9{{sin}^2}θ}}$,
所以$\frac{1}{ρ^2}=\frac{{{{cos}^2}θ}}{9}+{sin^2}θ$,
由OA⊥OB,設(shè)A(ρ1,α),則B點的坐標可設(shè)為$({ρ_2},α±\frac{π}{2})$,
所以$\frac{1}{{|OA{|^2}}}+\frac{1}{{|OB{|^2}}}$=$\frac{1}{ρ_1^2}+\frac{1}{ρ_2^2}$=$\frac{{{{cos}^2}α}}{9}+{sin^2}α$$+\frac{{{{sin}^2}α}}{9}+{cos^2}α$=$\frac{1}{9}+1=\frac{10}{9}$.       …(10分)

點評 本題考查曲線的普通方程的求法,考查兩線段平方的倒數(shù)和的求法,是中檔題,解題時要認真審題,極坐標方程、直角坐標方程互化合理運用.

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