Question

11．如圖，ABCD是正方形，O是該正方體的中心，P是平面ABCD外一點(diǎn)，PO⊥平面ABCD，E是PC的中點(diǎn)．
（1）求證：PA∥平面BDE；
（2）求證：BD⊥平面PAC．

Answer 1

分析 （1）要證PA與平面EBD平行，而過(guò)PA的平面PAC與平面EBD的交線(xiàn)為EO，因此只要證PA∥EO即可，這可由中位線(xiàn)定理得證；
（2）要證BD垂直于平面PAC，就是要證BD與平面PAC內(nèi)兩條相交直線(xiàn)垂直，正方形中對(duì)角線(xiàn)BD與AC是垂直的，因此只要再證BD⊥PO，這由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)或定義可得．

解答 證明：（1）連接EO，∵四邊形ABCD為正方形，
∴O為AC的中點(diǎn)，
∵E是PC的中點(diǎn)，∴OE是△APC的中位線(xiàn)．
∴EO∥PA，∵EO?平面BDE，PA?平面BDE，
∴PA∥平面BDE．
（2）∵PO⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PO⊥BD，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵PO∩AC=O，AC?平面PAC，PO?平面PAC，
∴BD⊥平面PAC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線(xiàn)面平行、線(xiàn)面垂直的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．