【題目】對于定義域為D的函數(shù),若同時滿足下列條件:在D內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減;存在區(qū)間,使上的值域為,則把叫閉函數(shù)。

(1)求閉函數(shù)符合條件的區(qū)間;

(2)判斷函數(shù)是否為閉函數(shù)?并說明理由;

(3)已知是正整數(shù),且定義在的函數(shù)是閉函數(shù)求正整數(shù)的最小值,及此時實數(shù)k的取值范圍。

【答案】(1);(2)不是,理由見解析;(3)。

【解析】

試題分析:(1)由題意,上遞減,上的值域為,故有,求得、的值,可得結(jié)論;(2)取,則由,可得不是上的減函數(shù)。同理求得不是上的增函數(shù),從而該函數(shù)不是閉函數(shù);(3)由題意,可得方程上有兩個不等的實根.利用基本不等式求得當時,取得最小值為.再根據(jù)函數(shù)上遞減,在遞增,而函數(shù)有兩個交點,可得正整數(shù)的最小值為,此時,,由此求得的范圍。

試題解析:(1)由題意,上遞減,則解得所以,所求的區(qū)間為。

(2),即不是上的減函數(shù)。,不是上的增函數(shù)所以,函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)遞增或單調(diào)遞減,從而該函數(shù)不是閉函數(shù)。

(3)是閉函數(shù),則存在區(qū)間,使函數(shù)的值域為,單調(diào)遞增,即,為方程的兩個實根,即方程上有兩個不等的實根當且僅當時取等號考察函數(shù)

函數(shù)上遞減,。

遞增,而函數(shù)有兩個交點

所以正整數(shù)的最小值為,此時的取值范圍為。

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1)求;

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