Question

7．若函數(shù)$f（x）=sin2ωx+2\sqrt{3}{cos^2}ωx-\sqrt{3}（ω＞0）$在$[\frac{π}{2}，π]$上單調遞減，則ω的取值范圍是（　　）

• A． $[\frac{1}{6}，\frac{1}{4}]$
• B． $[\frac{1}{6}，\frac{7}{12}]$
• C． $[\frac{1}{4}，\frac{1}{2}]$
• D． $[0，\frac{1}{2}]$

Answer 1

分析 利用二倍角和兩角和與差以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，結合三角函數(shù)的性質在$[\frac{π}{2}，π]$上單調遞減，可得ω的取值范圍．

解答 解：函數(shù)$f（x）=sin2ωx+2\sqrt{3}{cos^2}ωx-\sqrt{3}（ω＞0）$，
化簡可得：f（x）=sin2ωx+2$\sqrt{3}$（$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$cos2ωx）-$\sqrt{3}$
=sin2ωx+$\sqrt{3}$cos2ωx=2sin（2ωx$+\frac{π}{3}$）．
∵f（x）在$[\frac{π}{2}，π]$上單調遞減，
∴$\left\{\begin{array}{l}{πω+\frac{π}{3}≥\frac{π}{2}+2kπ}\\{2ωπ+\frac{π}{3}≤\frac{3π}{2}+2kπ}\end{array}\right.$，
解得：$\frac{1}{6}+2k≤ω≤\frac{7}{12}+k$，
∵ω＞0，
當k=0時，可得ω的取值范圍為$[\frac{1}{6}，\frac{7}{12}]$．
故選B．

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質的運用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關鍵．屬于基礎題．