Question

17．如圖，M、N分別是四面體OABC的棱AB與OC的中點(diǎn)，已知向量$\overrightarrow{MN}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$+z$\overrightarrow{OC}$，則xyz=$\frac{1}{8}$．

Answer 1

分析 由題意，$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CN}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$）+$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OB}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OC}$=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OA}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OC}$，求出x，y，z，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意，$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CN}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$）+$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OB}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OC}$=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OA}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OC}$，
∴$x=-\frac{1}{2}$，y=-$\frac{1}{2}$，z=$\frac{1}{2}$，
∴xyz=$\frac{1}{8}$．
故答案為$\frac{1}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間向量的線性運(yùn)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．