Question

4．命題p：f（x）=x³+ax²+ax在R上的單調遞增函數(shù)，命題q：方程$\frac{{x}^{2}}{a+2}$+$\frac{{y}^{2}}{a-2}$=1表示雙曲線．
（1）當a=1時，判斷命題p的真假，并說明理由；
（2）若命題“p且q“為真命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若命題p：f（x）=x³+ax²+ax在R上的單調遞增函數(shù)為真命題，則f′（x）=3x²+2ax+a≥0恒成立，解出a的范圍，可判斷命題p的真假；
（2）若命題“p且q“為真命題，則命題p，命題q均為真命題，進而可得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）若命題p：f（x）=x³+ax²+ax在R上的單調遞增函數(shù)為真命題，
則f′（x）=3x²+2ax+a≥0恒成立，
故△=4a²-12a≤0，
解得：a∈[0，3]，
故當a=1時，命題p為真命題；
（2）若命題q：方程$\frac{{x}^{2}}{a+2}$+$\frac{{y}^{2}}{a-2}$=1表示雙曲線為真命題，
則（a+2）（a-2）＜0．
解得：a∈（-2，2），
若命題“p且q“為真命題，
則命題p，命題q均為真命題，
故a∈[0，2）．

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了復合命題，導數(shù)法研究函數(shù)的單調性，雙曲線的標準方程等知識點，難度中檔．