Question

10．如圖，三棱錐P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC=3，∠ACB=$\frac{π}{2}$，D，E分別為線段AB，BC上的點，且CD=DE=$\sqrt{2}$，CE=2，AC=$\frac{3}{2}$．
（1）證明：DE⊥平面PCD
（2）求二面角A-PD-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推導出PC⊥DE，CD⊥DE，由此能證明DE⊥平面PCD．
（2）以C為原點，分別以$\overrightarrow{CA}，\overrightarrow{CB}，\overrightarrow{CP}$為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A-PD-C的余弦值．

解答 （本小題滿分12分）
證明：（1）由PC⊥平面ABC，DE?平面ABC，故PC⊥DE，
由CE=2，CD=DE=$\sqrt{2}$，得△CDE為等腰直角三角形，
故CD⊥DE，
∵PC∩CD=C，DE垂直于平面PCD內(nèi)兩條相交直線，
∴DE⊥平面PCD．  …（4分）
解：（2）以C為原點，分別以$\overrightarrow{CA}，\overrightarrow{CB}，\overrightarrow{CP}$為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，
則C（0，0，0，），P（0，0，3），A（$\frac{3}{2}$，0，0），D（1，1，0），…（5分）
$\overrightarrow{ED}=（1，-1，0）$，$\overrightarrow{DP}=（-1，-1，3）$，$\overrightarrow{DA}=（\frac{1}{2}，-1，0）$，
設(shè)平面PAD的法向量${\overrightarrow n_1}=（{x_1}，{y_1}，{z_1}）$，
由$\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{DP}=0$和$\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{DA}=0$
得$\left\{{\begin{array}{l}{-{x_1}-{y_1}-3{z_1}=0}\\{\frac{1}{2}{x_1}-{y_1}=0}\end{array}}\right.$，故可取$\overrightarrow{n_1}=（2，1，1）$…（8分）
由（1）可知DE⊥面PCD，故面PCD的法向量$\overrightarrow{n_2}$可取為$\overrightarrow{ED}$，即$\overrightarrow{n_2}=（1，-1，0）$…（10分）
從而法向量$\overrightarrow{n_1}$，$\overrightarrow{n_2}$的夾角的余弦值為$cos＜\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}＞=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{\overrightarrow{|{n_1}}|•|\overrightarrow{n_2}|}}=\frac{{\sqrt{3}}}{6}$，
故所求二面角A-PD-C的余弦值為$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$．…（12分）

點評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．