Question

19．如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四邊形ACFE為矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1．
（1）求證：BC⊥平面ACFE；
（2）在線段EF上是否存在點(diǎn)M，使得平面MAB與平面FCB所成銳二面角的平面角為θ，且滿足cosθ=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$？若不存在，請說明理由；若存在，求出FM的長度．

Answer 1

分析 （1）如圖所示的等腰梯形ABCD中，經(jīng)過點(diǎn)C，D分別作CP⊥AB，DQ⊥AB，垂足為P，Q．利用矩形的性質(zhì)可得PQ，在△ABC中，利用余弦定理可得AC²=3，利用勾股定理的逆定理可得AC⊥CB．再利用面面垂足的性質(zhì)定理即可證明BC⊥平面ACFE．
（2）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)M（a，0，1），設(shè)平面ABM的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），可得$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{MB}=0}\end{array}\right.$，取平面BCE的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，0）．利用$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，$a∈[0，\sqrt{3}]$．即可得出．

解答 （1）證明：如圖所示的等腰梯形ABCD中，
經(jīng)過點(diǎn)C，D分別作CP⊥AB，DQ⊥AB，垂足為P，Q，
則CDQP為矩形，PQ=1．在Rt△BCP中，∠B=60°，則BP=$\frac{1}{2}$BC=1，
同理可得AQ=$\frac{1}{2}$，∴AB=2．
在△ABC中，AC²=1²+2²-2×1×2×cos60°=3，
∴AC²+BC²=AB²，∴∠ACB=90°，∴AC⊥CB．
又∵四邊形ACFE為矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD=AC，∴BC⊥平面ACFE．
（2）解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．
C（0，0，0），A（$\sqrt{3}$，0，0），B（0，1，0），E（0，0，1），
設(shè)M（a，0，1），
$\overrightarrow{AB}$=（-$\sqrt{3}$，1，0），$\overrightarrow{MB}$=（-a，1，-1），$\overrightarrow{CB}$=（0，1，0），
$\overrightarrow{CE}$=（0，0，1），
設(shè)平面ABM的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{MB}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{3}x+y=0}\\{-ax+y-z=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{m}$=$（1，\sqrt{3}，\sqrt{3}-a）$．
取平面BCE的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，0）．
由$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{1+3+（\sqrt{3}-a）^{2}}}$，
由題意可得：$\frac{1}{\sqrt{4+（\sqrt{3}-a）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，$a∈[0，\sqrt{3}]$．
解得a=$\sqrt{3}$-1．
因此在線段EF上點(diǎn)M$（\sqrt{3}-1，0，1）$，使得平面MAB與平面FCB所成銳二面角的平面角為θ，且滿足cosθ=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．
FM=$\sqrt{3}$-1．

點(diǎn)評 本題考查了空間位置關(guān)系、等腰梯形的性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系、法向量的應(yīng)用、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、向量夾角公式，考查了空間想象能力、推理能力與計算能力，屬于中檔題．