Question

4．在直角坐標系xoy中，點P到兩點（0，$-\sqrt{3}$）、（0，$\sqrt{3}$）的距離之和等于4，設點P的軌跡為C．
（1）求C的軌跡方程；
（2）設直線$y=\frac{1}{2}x$與C交于A、B兩點，求弦AB的長度．

Answer 1

分析 （1）設P（x，y），運用橢圓的定義，可得2a=4，再由橢圓的a，b，c的關系，可得b，進而得到橢圓方程；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式，計算即可得到所求值．

解答 解：（1）設P（x，y），M（0，$-\sqrt{3}$）、N（0，$\sqrt{3}$）
∵|PM|+|PN|=4＞2$\sqrt{3}$=|MN|，
由橢圓定義可知，點P的軌跡C是以M、N為焦點，長半軸為2的橢圓，
它的短半軸b=$\sqrt{4-3}$=1，
故曲線C的方程為x²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直線$y=\frac{1}{2}x$與C，消去y并整理得$\frac{5}{4}$x²=4，
故x=±$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴有|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$•$\frac{8\sqrt{5}}{5}$=4．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用橢圓的定義，考查弦長的求法，注意運用直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理和弦長公式，考查運算能力，屬于中檔題．