【題目】已知函數(shù)f(x)=2lnx+x2﹣2ax(a>0). (I)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)有兩個極值點x1 , x2(x1<x2),且f(x1)﹣f(x2)≥ ﹣2ln2恒成立,求a的取值范圍.

【答案】解:(Ⅰ)函數(shù)f(x)的定義域是(0,+∞),

f′(x)= ,令x2﹣ax+1=0,則△=a2﹣4,

①0<a≤2時,△≤0,f′(x)≥0恒成立,

函數(shù)f(x)在(0,+∞)遞增;

②a>2時,△>0,方程x2﹣ax+1=0有兩根

x1= ,x2= ,且0<x1<x2

函數(shù)f(x)在(0,x1)上f′(x)>0,

在(x1,x2)上,f′(x)<0,在(x2,+∞)上,f′(x)>0,

故函數(shù)f(x)在(0, )遞增,在( , )遞減,在( ,+∞)遞增;

(Ⅱ)由(Ⅰ)得f(x)在(x1,x2)上遞減,x1+x2=a,x1x2=1,

則f(x1)﹣f(x2)=2ln +(x1﹣x2)(x1+x2﹣2a)=2ln + ,

令t= ,則0<t<1,f(x1)﹣f(x2)=2lnt+ ﹣t,

令g(t)=2lnt+ ﹣t,則g′(t)=﹣ <0,

故g(t)在(0,1)遞減且g( )= ﹣2ln2,

故g(t)=f(x1)﹣f(x2)≥ ﹣2ln2=g( ),即0<t≤ ,

而a2= = + +2=t+ +2,其中0<t≤ ,

∵(t+ +2)′=1﹣ ≤0在t∈(0, ]恒成立,

故a2=t+ +2在(0, ]遞減,

從而a的范圍是a2 ,

故a≥


【解析】(Ⅰ)求出函數(shù)的導數(shù),通過討論a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;(Ⅱ)得到x1+x2=a,x1x2=1,則f(x1)﹣f(x2)=2ln +(x1﹣x2)(x1+x2﹣2a)=2ln + ,令t= ,則0<t<1,f(x1)﹣f(x2)=2lnt+ ﹣t,令g(t)=2lnt+ ﹣t,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關知識,掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減,以及對函數(shù)的極值與導數(shù)的理解,了解求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側,右側,那么是極大值(2)如果在附近的左側,右側,那么是極小值.

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C.26.75
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氣溫x(℃)

18

13

10

﹣1

山高y(百米)

24

34

38

64


A.﹣10
B.﹣8
C.﹣6
D.﹣4

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