8.已知{an},{bn}為兩非零有理數(shù)列(即對(duì)任意的i∈N*,ai,bi均為有理數(shù)),{dn}為一無理數(shù)列(即對(duì)任意的i∈N*,di為無理數(shù)).
(1)已知bn=-2an,并且(an+bndn-andn2)(1+dn2)=0對(duì)任意的n∈N*恒成立,試求{dn}的通項(xiàng)公式.
(2)若{dn3}為有理數(shù)列,試證明:對(duì)任意的n∈N*,(an+bndn-andn2)(1+dn2)=1恒成立的充要條件為$\left\{{\begin{array}{l}{{a_n}=\frac{1}{{1+{d_n}^6}}}\\{{b_n}=\frac{{{d_n}^3}}{{1+{d_n}^6}}}\end{array}}$.
(3)已知sin2θ=$\frac{24}{25}$(0<θ<$\frac{π}{2}$),dn=$\root{3}{{tan(n•\frac{π}{2}+{{(-1)}^n}θ)}}$,試計(jì)算bn

分析 (1)由${d_n}^2+1≠0$,可得${a_n}{d_n}^2-{b_n}{d_n}-{a_n}=0$,由an≠0,可得${d_n}^2+2{d_n}-1=0$,解出即可得出.
(2)由$({a_n}+{b_n}{d_n}-{a_n}{d_n}^2)(1+{d_n}^2)=1$,可得${a_n}+{b_n}{d_n}^3+{d_n}({b_n}-{a_n}{d_n}^3)=1$,利用{dn3}為有理數(shù)列,即可證明.
(3)由體積可得25tanθ=12+12tan2θ.分類討論,利用{an},{bn},$\left\{{{d_n}^3}\right\}$為有理數(shù)列,{dn}為無理數(shù)列,即可得出.

解答 解:(1)∵${d_n}^2+1≠0$,∴${a_n}+{b_n}{d_n}-{a_n}{d_n}^2=0$,即${a_n}{d_n}^2-{b_n}{d_n}-{a_n}=0$,
∴${a_n}{d_n}^2+2{a_n}{d_n}-{a_n}=0$,
∵an≠0,∴${d_n}^2+2{d_n}-1=0$,∴${d_n}=-1±\sqrt{2}$.
(2)∵$({a_n}+{b_n}{d_n}-{a_n}{d_n}^2)(1+{d_n}^2)=1$,∴${a_n}{d_n}^2+{a_n}+{b_n}{d_n}^3+{b_n}{d_n}-{a_n}{d_n}^4-{a_n}{d_n}^2=1$,
∴${a_n}+{b_n}{d_n}^3+{d_n}({b_n}-{a_n}{d_n}^3)=1$,
∵{an},{bn},$\left\{{{d_n}^3}\right\}$為有理數(shù)列,{dn}為無理數(shù)列,
∴$\left\{{\begin{array}{l}{{a_n}+{b_n}{d_n}^3=1}\\{{b_n}-{a_n}{d_n}^3=0}\end{array}}\right.$,∴$\left\{{\begin{array}{l}{{a_n}=\frac{1}{{1+{d_n}^6}}}\\{{b_n}=\frac{{{d_n}^3}}{{1+{d_n}^6}}}\end{array}}\right.$,以上每一步可逆.
(3)$sin2θ=\frac{2tanθ}{{1+{{tan}^2}θ}}=\frac{24}{25}$,∴25tanθ=12+12tan2θ.
∵${d_n}=\root{3}{{tan(n•\frac{π}{2}+{{(-1)}^n}θ)}}$,∴${d_n}^3=tan(n•\frac{π}{2}+{(-1)^n}θ)$,
當(dāng)n=2k(k∈N*)時(shí),∴${d_n}^3=tan(2k•\frac{π}{2}+θ)=tanθ$
當(dāng)n=2k-1(k∈N*)時(shí),∴${d_n}^3=tan((2k-1)•\frac{π}{2}-θ)=cotθ$,∴$\left\{{{d_n}^3}\right\}$為有理數(shù)列,
∵$({a_n}+{b_n}{d_n}-{a_n}{d_n}^2)(1+{d_n}^2)=1$,∴${a_n}{d_n}^2+{a_n}+{b_n}{d_n}^3+{b_n}{d_n}-{a_n}{d_n}^4-{a_n}{d_n}^2=1$,
∴${a_n}+{b_n}{d_n}^3+{d_n}({b_n}-{a_n}{d_n}^3)=1$,
∵{an},{bn},$\left\{{{d_n}^3}\right\}$為有理數(shù)列,{dn}為無理數(shù)列,
∴$\left\{{\begin{array}{l}{{a_n}+{b_n}{d_n}^3=1}\\{{b_n}-{a_n}{d_n}^3=0}\end{array}}\right.$,∴${b_n}=\frac{{{d_n}^3}}{{1+{d_n}^6}}$,
∴${b_n}=\frac{{{d_n}^3}}{{1+{d_n}^6}}=\frac{{tan(n•\frac{π}{2}+{{(-1)}^n}θ)}}{{1+{{tan}^2}(n•\frac{π}{2}+{{(-1)}^n}θ)}}=\frac{1}{2}sin(n•π+2{(-1)^n}θ)$
當(dāng)n=2k(k∈N*)時(shí),∴${b_n}=\frac{1}{2}sin(2k•π+2θ)=\frac{1}{2}sin2θ=\frac{12}{25}$
當(dāng)n=2k-1(k∈N*)時(shí),∴${b_n}=\frac{1}{2}sin((2k-1)•π-2θ)=\frac{1}{2}sin2θ=\frac{12}{25}$,∴${b_n}=\frac{12}{25}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、數(shù)列的通項(xiàng)公式、三角函數(shù)求值、倍角公式、和差公式,考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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課程數(shù)學(xué)1數(shù)學(xué)2數(shù)學(xué)3數(shù)學(xué)4數(shù)學(xué)5合計(jì)
選課人數(shù)1805405403601801800
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(2)從選出的10名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人,記這3人中選擇數(shù)學(xué)2的人數(shù)為X,選擇數(shù)學(xué)1的人數(shù)為Y,設(shè)隨機(jī)變量ξ=X-Y,求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E(ξ).

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