Question

19．已知橢圓C：$\frac{x^2}{3}+{y^2}$=1，斜率為1的直線l與橢圓C交于A，B兩點，且|AB|=$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，則直線l的方程為y=x±1．

Answer 1

分析 設出直線方程y=x+m，代入x²+3y²=3，結合題設條件利用橢圓的弦長公式能求出m，得到直線方程．

解答 解：橢圓：$\frac{x^2}{3}+{y^2}$=1，即：x²+3y²=3
l：y=x+m，代入x²+3y²=3，
整理得4x²+6mx+3m²-3=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-$\frac{6m}{4}$，x₁x₂=$\frac{3{m}^{2}-3}{4}$，
|AB|=$\sqrt{1+{1}^{2}}$•|x₁-x₂|
=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{2}×\sqrt{（-\frac{6m}{4}）^{2}-4×\frac{3{m}^{2}-3}{4}}$=$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，．
解得：m=±1．
直線l：y=x±1．
故答案為：y=x±1．

點評 本題考查橢圓弦長的求法，解題時要注意弦長公式，考查計算能力以及分析問題解決問題的能力．