Question

8．函數(shù)y=3cos²x-4sinx+1的值域為[-3，$\frac{16}{3}$]．

Answer 1

分析 化簡函數(shù)y，利用換元法設(shè)sinx=t，再結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求出函數(shù)y的值域．

解答 解：化簡可得y=4-3sin²x-4sinx，
設(shè)sinx=t，則t∈[-1，1]，
換元可得y=-3t²-4t+4=-3（t+$\frac{2}{3}$）²+$\frac{16}{3}$，
由二次函數(shù)的性質(zhì)得，
當(dāng)t=-$\frac{2}{3}$時，函數(shù)y取得最大值$\frac{16}{3}$，
當(dāng)t=1時，函數(shù)y取得最小值-3，
所以函數(shù)y的值域為[-3，$\frac{16}{3}$]．
故答案為：[-3，$\frac{16}{3}$]．

點評 本題考查了換元法求三角函數(shù)的最值問題，涉及換元法和二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，是基礎(chǔ)題．