Question

12．對于滿足0＜b＜3a的任意實數(shù)a，b，函數(shù)f（x）=ax²+bx+c總有兩個不同的零點，則$\frac{a+b-c}{a}$的取值范圍是（　　）

• A． $（{1，\frac{7}{4}}]$
• B． （1，2]
• C． [1，+∞）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 由題意可得△=b²-4ac＞0，于是c＜$\frac{^{2}}{4a}$，從而$\frac{a+b-c}{a}$＞$\frac{a+b-\frac{^{2}}{4a}}{a}$=1+$\frac{a}$-$\frac{1}{4}$（$\frac{a}$）²，運用換元法和二次函數(shù)的最值的求法，結合恒成立問題的解法，即可得到所求范圍．

解答 解：由滿足0＜b＜3a的任意實數(shù)a，b，
函數(shù)f（x）=ax²+bx+c總有兩個不同的零點，
可得△=b²-4ac＞0，
于是c＜$\frac{^{2}}{4a}$，
從而$\frac{a+b-c}{a}$＞$\frac{a+b-\frac{^{2}}{4a}}{a}$=1+$\frac{a}$-$\frac{1}{4}$（$\frac{a}$）²，
對任意滿足0＜b＜3a的任意實數(shù)a，b恒成立．
令t=$\frac{a}$，由0＜b＜3a，可得0＜t＜3，
則-$\frac{1}{4}$t²+t+1=-$\frac{1}{4}$（t-2）²+2，
當t=2時，取得最大值2，
則-$\frac{1}{4}$t²+t+1∈（1，2]．
故$\frac{a+b-c}{a}$＞2．
故選：D．

點評 本題考查函數(shù)零點問題的解法，考查恒成立問題的解法，注意運用換元法和二次函數(shù)的最值求法，屬于中檔題．