Question

20．△ABC中，O是BC的中點，|BC|=3$\sqrt{2}$，其周長為6+3$\sqrt{2}$，若點T在線段AO上，且|AT|=2|TO|．
（Ⅰ）建立合適的平面直角坐標(biāo)系，求點T的軌跡E的方程；
（Ⅱ）若M，N是射線OC上不同的兩點，|OM|•|ON|=1，過點M的直線與E交于P，Q，直線QN與E交于另一點R，證明：△MPR是等腰三角形．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以BC所在直線為x軸，O為坐標(biāo)原點，建立平面直角坐標(biāo)系，利用橢圓的定義，求點T的軌跡E的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線QM的方程，與橢圓方法聯(lián)立，消去y，得（m²+1-2mx₁）x²-2m（1-x₁²）x+（2mx₁-x₁²-m²x₁²）=0，利用韋達(dá)定理，證明PR⊥x軸，即可證明結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）以BC所在直線為x軸，O為坐標(biāo)原點，建立平面直角坐標(biāo)系，
則|AB|+|AC|=6＞|BC|，
∴點A的軌跡是以B，C為焦點的橢圓，
∴2a=6，2c=3$\sqrt{2}$，
∴a=3，c=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴b²=a²-c²=$\frac{9}{2}$；
∴點A的軌跡方程為：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{\frac{9}{2}}$=1（y≠0）；
設(shè)T（x，y），點T在線段AO上，且|AT|=2|TO|，
∴A（3x，3y），代入為$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{\frac{9}{2}}$=1，
整理可得點T的軌跡E的方程是：${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{2}}$=1（y≠0）；
（Ⅱ）根據(jù)題意，設(shè)M（m，0），（m＞0），由|OM|•|ON|=1，
得N（$\frac{1}{m}$，0）；Q（x₁，y₁），P（x₂，y₂），R（x₃，y₃），
由題意，直線QM不與坐標(biāo)軸平行，k_QM=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-m}$，直線QM的方程為y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-m}$（x-m）
與橢圓方法聯(lián)立，消去y，得（m²+1-2mx₁）x²-2m（1-x₁²）x+（2mx₁-x₁²-m²x₁²）=0；
∴x₁x₂=$\frac{2m{x}_{1}-{{x}_{1}}^{2}-{m}^{2}{{x}_{1}}^{2}}{{m}^{2}+1-2m{x}_{1}}$，
同理x₁x₃=$\frac{2m{x}_{1}-{{x}_{1}}^{2}-{m}^{2}{{x}_{1}}^{2}}{{m}^{2}+1-2m{x}_{1}}$=x₁x₂，
∴x₂=x₃，或x₁=0．
x₂=x₃，PR⊥x軸，
x₁=0，x₂=$\frac{2m}{{m}^{2}+1}$，x₃=$\frac{2•\frac{1}{m}}{（\frac{1}{m}）^{2}+1}$=$\frac{2m}{{m}^{2}+1}$=x₂．PR⊥x軸，
∴|MP|=|MR|，
∴△MPR是等腰三角形．

點評 本題考查橢圓的定義與方程，考查直線與橢圓位置關(guān)系的運用，考查韋達(dá)定理的運用，屬于中檔題．