Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若對(duì)于任意都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）若過(guò)點(diǎn)可作函數(shù)圖象的三條不同切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】試題分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，列表分析導(dǎo)函數(shù)符號(hào)變化規(guī)律，進(jìn)而確定單調(diào)區(qū)間（2）先化簡(jiǎn)不等式，利用變量分離得最小值，再利用基本不等式求最小值，即得實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）先設(shè)切點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義建立方程，轉(zhuǎn)化為有三個(gè)不同的解，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖像，根據(jù)極值點(diǎn)位置確定實(shí)數(shù)的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)， ，得．

因?yàn)?/span>=，

所以當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)單調(diào)遞增；

當(dāng)或時(shí)， ，函數(shù)單調(diào)遞減．

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為和

（Ⅱ）由，得．

因?yàn)閷?duì)于任意都有成立，

即對(duì)于任意都有成立，

即對(duì)于任意都有成立，

設(shè), ,

則

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)即.

所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．

（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)是函數(shù)圖象上的切點(diǎn)，

則過(guò)點(diǎn)的切線的斜率為，

所以過(guò)點(diǎn)的切線方程為．

因?yàn)辄c(diǎn)在切線上，

即．

若過(guò)點(diǎn)可作函數(shù)圖象的三條不同切線，

則方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解．

令，則函數(shù)與軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)．

令，解得或．

因?yàn)?/span>， ，

所以必須，即．

所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．