Question

5．若（$\frac{3}{\sqrt{x}}$-$\root{3}{x}$）ⁿ的展開式中所有項系數(shù)的絕對值之和為1024，則該展開式中的常數(shù)項是-90．

Answer 1

分析 先求出n=5，再寫出通項公式，令$\frac{5r-15}{6}$=0，解得r=3．即可求出答案．

解答 解：（$\frac{3}{\sqrt{x}}$-$\root{3}{x}$）ⁿ的展開式中所有項系數(shù)的絕對值之和等于（$\frac{3}{\sqrt{x}}$+$\root{3}{x}$）ⁿ為展開式中所有項系數(shù)的絕對值之和，
令x=1可得：4ⁿ=1024，解得n=5．
∴（$\frac{3}{\sqrt{x}}$-$\root{3}{x}$）⁵的通項公式為：T_r+1=C₅^r（-1）^r3^5-rx${\;}^{\frac{5r-15}{6}}$，
令$\frac{5r-15}{6}$=0，解得r=3．
∴該展開式中的常數(shù)項是C₅³（-1）³3²=-90．
故答案為：-90

點評 本題考查了二項式定理的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．