Question

13．為了了解高中生的身體健康情況，體育局隨機抽取了某校20名學生的體育測試成績，得到如圖所示的莖葉圖：
（1）若測試成績不低于90分，則稱為“優(yōu)秀成績”，求從這20人中隨機選取3人，至多有1人是“優(yōu)秀成績”的概率；
（2）以這20人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個學校的總體數(shù)據(jù)，若從該校（人數(shù)很多）任選3人，記ξ表示抽到“優(yōu)秀成績”學生的人數(shù)，求ξ的分布列及數(shù)學期望、方差．

Answer 1

分析 （1）由莖葉圖知“優(yōu)秀成績”人數(shù)為4人，從這20人中隨機選取3人，設選中優(yōu)秀人數(shù)為X，用事件A表示“從這20人中隨機選取3人，至多有1人是‘優(yōu)秀成績’”，則P（A）=P（X=0）+P（X=1），由此能求出從這20人中隨機選取3人，至多有1人是“優(yōu)秀成績”的概率．
（2）由樣本估計總體，可知抽到“優(yōu)秀成績”學生的概率p=$\frac{1}{5}$，ξ的可能取值為0，1，2，3，且ξ～B（3，$\frac{1}{5}$），由此能求出ξ的分布列及數(shù)學期望、方差．

解答 解：（1）由莖葉圖知“優(yōu)秀成績”人數(shù)為4人，
從這20人中隨機選取3人，設選中優(yōu)秀人數(shù)為X，
用事件A表示“從這20人中隨機選取3人，至多有1人是‘優(yōu)秀成績’”，
則P（A）=P（X=0）+P（X=1）
=$\frac{{C}_{18}^{3}}{{C}_{20}^{3}}+\frac{{C}_{18}^{2}{C}_{4}^{1}}{{C}_{20}^{3}}$=$\frac{52}{57}$．
（2）由樣本估計總體，可知抽到“優(yōu)秀成績”學生的概率p=$\frac{1}{5}$，
ξ的可能取值為0，1，2，3，且ξ～B（3，$\frac{1}{5}$），
P（ξ=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{4}{5}）^{3}$=$\frac{64}{125}$，
P（ξ=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{4}{5}）^{2}（\frac{1}{5}）$=$\frac{48}{125}$，
P（ξ=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{4}{5}）（\frac{1}{5}）^{2}$=$\frac{12}{125}$，
P（ξ=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{1}{5}）^{3}$=$\frac{1}{125}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{64}{125}$	$\frac{48}{125}$	$\frac{12}{125}$	$\frac{1}{125}$

∵ξ～B（3，$\frac{1}{5}$），∴Eξ=3×$\frac{1}{5}$=$\frac{3}{5}$．D（ξ）=3×$\frac{1}{5}×\frac{4}{5}$=$\frac{12}{25}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望和方差的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．