Question

5．已知y=a-bcos3x（b＞0）的最大值為$\frac{3}{2}$，最小值為-$\frac{1}{2}$．
（1）求函數(shù)y=-4asin（3bx）的周期和最值及相應(yīng)的x的取值集合；
（2）求函數(shù)$f（x）=2sin（a\frac{π}{3}-2bx）$的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由正弦函數(shù)的最值，分別求得a和b的值，求得函數(shù)y=-2sin3x，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求得函數(shù)的周期，最值及相應(yīng)的x的取值集合；
（2）由（1）可知$f（x）=2sin（\frac{π}{6}-2x）=-2sin（2x-\frac{π}{6}）$，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)就看求得函數(shù)f（x）單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）由題意知$\left\{{\begin{array}{l}{a+b=\frac{3}{2}}\\{a-b=-\frac{1}{2}}\end{array}}\right.$，解得$\left\{{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=1}\end{array}}\right.$，∴y=-2sin3x，
∴$周期T=\frac{2π}{3}$，$當(dāng)3x=2kπ+\frac{π}{2}，即x∈\left\{{\left.x\right|x=\frac{2kπ}{3}+\frac{π}{6}，k∈Z}\right\}時，{y_{min}}=-2$，
$當(dāng)3x=2kπ-\frac{π}{2}，即x∈\left\{{\left.x\right|x=\frac{2kπ}{3}-\frac{π}{6}，k∈Z}\right\}時，{y_{max}}=2$
（2）由（1）知$f（x）=2sin（\frac{π}{6}-2x）=-2sin（2x-\frac{π}{6}）$，
$令2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}則kπ-\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{π}{3}$，
$令2kπ+\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{3π}{2}則kπ+\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{5π}{6}$，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z；
函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間[kπ+$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{5π}{6}$]，k∈Z．

點評 本題考查正弦函數(shù)的性質(zhì)，考查正弦函數(shù)的單調(diào)性及最值，考查計算能力，屬于中檔題．