Question

【題目】動(dòng)點(diǎn)到直線的距離比它到點(diǎn)的距離大1．

(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；

(2)過定點(diǎn)作直線,與(1)中的軌跡相交于、兩點(diǎn),為點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn),證明：；

(3)在(2)中，是否存在垂直于軸的直線被以為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在求出的方程；若不存在,請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】(1)；(2)證明見解析；(3)不存在,理由見解析.

【解析】

(1)根據(jù)題意結(jié)合拋物線的定義可以求出點(diǎn)的軌跡的方程；

(2)設(shè)出直線方程,與拋物線方程聯(lián)立,得到一個(gè)一元二次方程,結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系只要證明直線斜率之和為零即可；

(3)求出以為直徑的圓的圓心和半徑,利用垂徑定理求出弦長,判斷是不是定值即可.

(1)因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)到直線的距離比它到點(diǎn)的距離大1,所以動(dòng)點(diǎn)到直線的距離等于它到點(diǎn)的距離,由拋物線的定義可知：點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn),原點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線, 因此,所以點(diǎn)的軌跡的方程是

；

(2)由題意可設(shè)直線的方程為：與拋物線方程聯(lián)立得：

,設(shè)、兩點(diǎn)坐標(biāo)為：

所以有.

由題意可知：,直線斜率分別記作：

所以有

,

所以；

(3) 以為直徑的圓的圓心和半徑分別為：,設(shè)直線的方程為,直線與以為直徑的圓相交的弦長為,由圓的垂徑定理可知：

,化簡(jiǎn)得：顯然不是定值,故不存在直線被以為直徑的圓截得的弦長恒為定值.