Question

6．數(shù)列{a_n}、{b_n}滿足a₁=1，且a_n+1、1+a_n是函數(shù)f（x）=x²-b_nx+a_n的兩個零點，則a₂=$\frac{1}{2}$，當b_n＞$\frac{4}{3}$時，n的最大值為5．

Answer 1

分析 利用根與系數(shù)的關(guān)系得出{a_n}的遞推公式，從而得出a_n，b_n的通項公式，在解不等式得出n的值．

解答 解：∵a_n+1、1+a_n是函數(shù)f（x）=x²-b_nx+a_n的兩個零點，
∴a_n+1（1+a_n）=a_n，即a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{1+{a}_{n}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=1，又a₁=1，
∴{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1為首項，以1為公差的等差數(shù)列．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=n，即a_n=$\frac{1}{n}$，∴a₂=$\frac{1}{2}$，
又由根與系數(shù)的關(guān)系得：b_n=a_n+1+（1+a_n）=$\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}$+1，
令$\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}$+1＞$\frac{4}{3}$，得n²-5n-3＜0，解得$\frac{5-\sqrt{37}}{2}$＜n＜$\frac{5+\sqrt{37}}{2}$，
又n∈N，故n的最大值為5．
故答案為：$\frac{1}{2}$，5．

點評 本題考查了數(shù)列的通項公式的求法，等差數(shù)列的判斷，屬于中檔題．