Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=a，又PA⊥平面ABCD，PA=4．BQ=t
（1）若在邊BC上存在一點(diǎn)Q，使PQ⊥QD，求a與t關(guān)系；
（2）在（1）的條件下求a的取值范圍；
（3）（理科做，文科不做）當(dāng)邊BC上存在唯一點(diǎn)Q，使PQ⊥QD時(shí)，求二面角A-PD-Q的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法

專題：空間角

分析：（1）利用直角三角形的勾股定理得到a，t的關(guān)系；
（2）利用（1）的結(jié)論結(jié)合基本不等式求a的范圍；
（3）由（Ⅰ）知，當(dāng)t=2，a=4時(shí)，邊BC上存在唯一點(diǎn)Q（Q為BC邊的中點(diǎn)），使PQ⊥QD．
過Q作QM∥CD交AD于M，則QM⊥AD．得到平面角∠MNQ是二面角A-PD-Q的平面角，結(jié)合直角三角形的余弦求之．

解答： 解：（1）如圖，連接AQ，由于PA⊥平面ABCD，則由PQ⊥QD，必有AQ⊥DQ．
設(shè)，則CQ=a-t，
在直角三角形MBQ中中，有AQ=

t2+4

．
在Rt△CDQ中，有DQ=

(a-t)2+4

．    …（4分）
在Rt△ADQ中，有AQ²+DQ²=AD²．
即t²+4+（a-t）²+4=a²，
即t²-at+4=0．
（2）由（1）得a=t+

4

t

≥4．
故a的取值范圍為[4，+∞）．
（3）由（Ⅰ）知，當(dāng)t=2，a=4時(shí)，邊BC上存在唯一點(diǎn)Q（Q為BC邊的中點(diǎn)），使PQ⊥QD．
過Q作QM∥CD交AD于M，則QM⊥AD．
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥QM．∴QM⊥平面PAD．
過M作MN⊥PD于N，連結(jié)NQ，則QN⊥PD．
∴∠MNQ是二面角A-PD-Q的平面角．
在等腰直角三角形PAD中，可求得MN=

2

，又MQ=2，進(jìn)而NQ=

6

．

∴cos∠MNQ=

MN

NQ

=

2

6

=

3

3

．
故二面角A-PD-Q的余弦值為

3

3

．

點(diǎn)評：本題考查了直角三角形的勾股定理以及二面角的平面角求法，關(guān)鍵在正確找出平面角，屬于中檔題．