Question

10．若F₁，F₂是橢圓C：$\frac{{y}^{2}}{9}$+$\frac{{x}^{2}}{m}$=1（0＜m＜9）的兩個焦點，橢圓上存在一點P，滿足以橢圓短軸為直徑的圓與線段PF₁相切于該線段的中點M．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點（0，$\sqrt{5}$）的直線l與橢圓C交于兩點A、B，線段AB的中垂線l₁交x軸于點N，R是線段AN的中點，求直線l₁與直線BR的交點E的軌跡方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出a=3，b=$\sqrt{m}$，設橢圓的下焦點F₁，設線段PF₁的中點為：M；由題意，OM⊥PF₁，又OM=b，OM是△PF₁F₂的中位線，由橢圓定義，在Rt△OMF₁中的勾股定理，求出b=2，得到m．然后求解橢圓C的方程．
（Ⅱ）上焦點坐標（0，$\sqrt{5}$）．直線l的斜率k必存在．設A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），弦AB的中點Q（x₀，y₀），利用平方差法得到AB的斜率，通過（1）當x₀≠0時，k=k_AB=$\frac{{y}_{0}-\sqrt{5}}{{x}_{0}}$，推出9x₀²+4y₀²-4$\sqrt{5}$y₀=0，連結BN，則E為△ABN的重心，設E（x，y），利用重心坐標公式，推出$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=4x}\\{{y}_{0}=\frac{3}{2}y}\end{array}\right.$代入9x₀²+4y₀²-4$\sqrt{5}$y₀=0軌跡方程，（2）當x₀=0時，驗證即可．

解答 解：（Ⅰ）∵0＜m＜9，∴a=3，b=$\sqrt{m}$，不妨設橢圓的下焦點F₁，設線段PF₁的中點為：M；
由題意，OM⊥PF₁，又OM=b，OM是△PF₁F₂的中位線，
∴|PF₂|=2b，
由橢圓定義，|PF₁|=2a-2b=6-2b．∴$|M{F}_{1}|=\frac{1}{2}|P{F}_{1}|$=3-b，
在Rt△OMF₁中：$|O{F}_{1}{|}^{2}=|OM{|}^{2}+|M{F}_{1}{|}^{2}$，
∴c²=b²+（3-b）²，又c²=a²-b²=9-b²．，
∴b²+（3-b）²=9-b²交點b=0（舍去）或b=2，∴m=b²=4．
∴橢圓C的方程：$\frac{{y}^{2}}{9}$+$\frac{{x}^{2}}{4}$=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）橢圓C的方程：$\frac{{y}^{2}}{9}$+$\frac{{x}^{2}}{4}$=1．
上焦點坐標（0，$\sqrt{5}$）．直線l的斜率k必存在．
設A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），弦AB的中點Q（x₀，y₀），
由$\left\{\begin{array}{l}{{{4x}_{1}}^{2}+9{{y}_{1}}^{2}=36}\\{4{{x}_{2}}^{2}+9{{y}_{2}}^{2}=36}\end{array}\right.$，可得4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=-9（x₁+x₂）（x₁-x₂），
∴k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{9（{x}_{1}+{x}_{2}）}{4（{y}_{1}+{y}_{2}）}$=-$\frac{9{x}_{0}}{4{y}_{0}}$（y₀≠0）
（1）當x₀≠0時，k=k_AB=$\frac{{y}_{0}-\sqrt{5}}{{x}_{0}}$∴k=$-\frac{9{x}_{0}}{4{y}_{0}}$=$\frac{{y}_{0}-\sqrt{5}}{{x}_{0}}$⇒9x₀²+4y₀²-4$\sqrt{5}$y₀=0，•
又l₁：y-y₀=$\frac{4{y}_{0}}{9{x}_{0}}（x-{x}_{0}）$，∴N（$-\frac{5}{4}{x}_{0}，0$），
連結BN，則E為△ABN的重心，設E（x，y），
則$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+（-\frac{5}{4}{x}_{0}）}{3}=\frac{{x}_{0}}{4}}\\{9=\frac{{y}_{1}+{y}_{2}+0}{3}=\frac{2{y}_{0}}{3}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=4x}\\{{y}_{0}=\frac{3}{2}y}\end{array}\right.$代入9x₀²+4y₀²-4$\sqrt{5}$y₀=0可得：48x²+3y²-2$\sqrt{5}y=0$，（y≠0）．
（2）當x₀=0時，l：y=$\sqrt{5}$，N（0，0），E（0，$\frac{2\sqrt{5}}{3}$）也適合上式，
綜上所述，點E的軌跡方程為：48x²+3y²-2$\sqrt{5}y=0$，（y≠0）．

點評 本題考查橢圓的簡單性質以及橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關系的綜合應用，考查轉化思想以及計算能力．