Question

16．設函數f（x）滿足2x²f（x）+x³f′（x）=e^x，f（2）=$\frac{{e}^{2}}{8}$，則x∈[2，+∞）時，f（x）（　�。�

• A． 有最大值$\frac{{e}^{2}}{8}$
• B． 有最小值$\frac{{e}^{2}}{8}$
• C． 有最大值$\frac{{e}^{2}}{2}$
• D． 有最小值$\frac{{e}^{2}}{2}$

Answer 1

分析 推出f'（x）的表達式，當x=2時，f（2）=$\frac{{e}^{2}}{8}$，構造輔助函數，求導，由g′（x）≥0在x∈[2，+∞）恒成立，則g（x）在x=2處取最小值，即可求得f（x）在[2，+∞）單調遞增，即可求得f（x）的最小值．

解答 解：由2x²f（x）+x³f'（x）=e^x，
當x＞0時，
故此等式可化為：f'（x）=$\frac{{e}^{x}-2{x}^{2}f（x）}{{x}^{3}}$，且當x=2時，f（2）=$\frac{{e}^{2}}{8}$，
f'（2）=$\frac{{e}^{2}-8f（2）}{8}$=0，
令g（x）=e²-2x²f（x），g（2）=0，
求導g′（x）=e²-2[x²f′（x）+2xf（x）]=e²-$\frac{2{e}^{x}}{x}$=$\frac{{e}^{x}}{x}$（x-2），
當x∈[2，+∞）時，g′（x）＞0，
則g（x）在x∈[2，+∞）上單調遞增，
g（z）的最小值為g（2）=0，
則f'（x）≥0恒成立，
∴f（x）的最小值f（2）=$\frac{{e}^{2}}{8}$，
故選：B．

點評 本題考查導數的綜合應用，考查導數與函數單調性的關系，考查構造法求函數的單調性及最值，考查計算能力，屬于中檔題．