Question

2．已知函數(shù)f（x）=（x-a）|x|存在反函數(shù)，則實(shí)數(shù)a=0．

Answer 1

分析 a＞0時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x-\frac{a}{2}）^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}，x≥0}\\{-（x-\frac{a}{2}）^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}，x＜0}\end{array}\right.$，利用單調(diào)性即可判斷出不存在反函數(shù)．
a=0時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，x≥0}\\{-{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，可得函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，因此存在反函數(shù)．
a＜0時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x-\frac{a}{2}）^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}，x≥0}\\{-（x-\frac{a}{2}）^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}，x＜0}\end{array}\right.$，利用單調(diào)性即可判斷出不存在反函數(shù)．

解答 解：a＞0時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x-\frac{a}{2}）^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}，x≥0}\\{-（x-\frac{a}{2}）^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}，x＜0}\end{array}\right.$，
可得函數(shù)f（x）在$（0，\frac{a}{2}）$內(nèi)單調(diào)遞減，在（-∞，0），$（\frac{a}{2}，+∞）$上單調(diào)遞增，因此不存在反函數(shù)．
a=0時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，x≥0}\\{-{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，可得函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，因此存在反函數(shù)．
a＜0時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x-\frac{a}{2}）^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}，x≥0}\\{-（x-\frac{a}{2}）^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}，x＜0}\end{array}\right.$，
可得函數(shù)f（x）在$（\frac{a}{2}，0）$內(nèi)單調(diào)遞減，在（-∞，$\frac{a}{2}$），（0，+∞）上單調(diào)遞增，
因此不存在反函數(shù)．
綜上可得：a=0．
故答案為：0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反函數(shù)的定義及其判定、二次函數(shù)的單調(diào)性、分類(lèi)討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．