Question

14．已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²-3x在x=±1處取得極值．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)A（2，2）作曲線y=f（x）的切線，求此切線方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到關(guān)于a，b的方程組，解出即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算切線的斜率，求出切線方程即可．

解答 解：（Ⅰ）f'（x）=3ax²+2bx-3，
依題意，f'（1）=f'（-1）=0，
即$\left\{\begin{array}{l}{3a+2b-3=0}\\{3a-2b-3=0}\end{array}\right.$，解得a=1，b=0．
（Ⅱ）：∵f′（x）=3x²-3，
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（t，t³-3t），
則切線方程為y-（t³-3t）=3（t²-1）（x-t），
∵切線過(guò)點(diǎn)P（2，2），∴2-（t³-3t）=3（t²-1）（2-t），
化簡(jiǎn)得t³-3t²+4=0，∴t=-1或t=2，
∴切線的方程：y=2或9x-y-16=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)極值的問(wèn)題，考查求切線方程，是一道中檔題．