Question

取一根長度為3 m的繩子,拉直后在任意位置剪斷,那么剪得兩段的長都不小于1 m的概率是多大？

Answer 1

【探究一】從每一個(gè)位置剪斷繩子,都是一個(gè)基本事件,剪斷位置可以是長度為3 m的繩子上的任意一點(diǎn),基本事件有有限多個(gè),而且每一個(gè)基本事件的發(fā)生都是等可能的,因此事件的發(fā)生的概率只與剪斷位置所處的繩子的長度有關(guān),符合幾何概型的條件.

【解析】如圖3-3-20,記A={剪得兩段繩子都不小于1 m},把繩子三等分,于是當(dāng)剪斷位置處在中間一段上時(shí),事件A發(fā)生.由于中間一段的長度為3×=1 m,所以事件A發(fā)生的概率P(A)=.

         圖3-3-20

【探究二】在任意位置剪斷繩子,則剪斷位置到一端點(diǎn)的距離取遍［0,3］內(nèi)的任意數(shù),并且每一個(gè)實(shí)數(shù)被取到都是等可能的.因此在任意位置剪斷繩子的所有結(jié)果(基本事件)對(duì)應(yīng)［0,3］上的均勻隨機(jī)數(shù),其中取得的［1,2］內(nèi)的隨機(jī)數(shù)就表示剪斷位置與端點(diǎn)距離在［1,2］內(nèi),也就是剪得兩段長都不小于1 m.這樣取得的［1,2］內(nèi)的隨機(jī)數(shù)個(gè)數(shù)與［0,3］內(nèi)的隨機(jī)數(shù)個(gè)數(shù)之比就是事件A發(fā)生的概率.

【解法一】(1)利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生一組0到1區(qū)間的均勻隨機(jī)數(shù),a₁=RAND.

(2)經(jīng)過伸縮變換a=a₁*3.

(3)統(tǒng)計(jì)出［1,2］內(nèi)隨機(jī)數(shù)的個(gè)數(shù)N₁和［0,3］內(nèi)隨機(jī)數(shù)的個(gè)數(shù)N.

(4)計(jì)算頻率f_n(A)=即為概率P(A)的近似值.

【解法二】做一個(gè)帶有指針的圓盤,把圓周三等分,標(biāo)上刻度［0,3］(這里3和0重合).轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤記下指針指在［1,2］(表示剪斷繩子位置在［1,2］范圍內(nèi))的次數(shù)N₁及試驗(yàn)總次數(shù)N,則f_n(A)= 即為概率P(A)的近似值.

規(guī)律總結(jié) 解法二用轉(zhuǎn)盤產(chǎn)生隨機(jī)數(shù),這種方法可以親自動(dòng)手操作,但費(fèi)時(shí)費(fèi)力,試驗(yàn)次數(shù)不可能很大；解法一用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù),可以產(chǎn)生大量的隨機(jī)數(shù),又可以自動(dòng)統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)的結(jié)果,同時(shí)可以在短時(shí)間內(nèi)多次重復(fù)試驗(yàn),可以對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的隨機(jī)性和規(guī)律性有更深刻的認(rèn)識(shí).