8.已知點(diǎn)O是銳角△ABC的外心,a,b,c分別為內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊,A=$\frac{π}{4}$,且$\frac{cosB}{sinC}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{cosC}{sinB}$$\overrightarrow{AC}$=λ$\overrightarrow{OA}$,則λ的值為( 。
A.$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$B.-$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$C.$\sqrt{2}$D.-$\sqrt{2}$

分析 由題意畫出圖形,設(shè)△ABC的外接圓半徑為R,根據(jù)三角形外心的性質(zhì)可得:OD⊥AB、OE⊥AC,由向量的線性運(yùn)算和向量數(shù)量積的運(yùn)算,求出$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{OA}$和$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{OA}$,在已知的等式兩邊同時(shí)與$\overrightarrow{OA}$進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算,代入后由正弦定理化簡(jiǎn),由兩角和的正弦公式和內(nèi)角和定理求出λ的值.

解答 解:如圖所示:O是銳角△ABC的外心,
D、E分別是AB、AC的中點(diǎn),且OD⊥AB,OE⊥AC,
設(shè)△ABC外接圓半徑為R,則$|\overrightarrow{OA}|$=R,
由圖得,$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DA}$,
則$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AB}•(\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DA})$=$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{DA}$ 
=$\overrightarrow{AB}•(-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB})$=$-\frac{1}{2}{\overrightarrow{AB}}^{2}$=$-\frac{1}{2}|{\overrightarrow{AB}|}^{2}$,
同理可得,$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{OA}=-\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}{|}^{2}$,
由$\frac{cosB}{sinC}\overrightarrow{AB}+\frac{cosC}{sinB}\overrightarrow{AC}=λ\overrightarrow{OA}$得,
$\frac{cosB}{sinC}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{OA}+\frac{cosC}{sinB}\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{OA}=λ{(lán)\overrightarrow{OA}}^{2}$,
所以$-\frac{1}{2}•\frac{cosB}{sinC}|\overrightarrow{AB}{|}^{2}-\frac{1}{2}\frac{cosC}{sinB}|\overrightarrow{AC}{|}^{2}=λ{(lán)\overrightarrow{OA}}^{2}$,
則$cosB|\overrightarrow{AB}|\frac{|\overrightarrow{AB}|}{sinC}+cosC|\overrightarrow{AC}|\frac{|\overrightarrow{AC}|}{sinB}$=$-2λ|\overrightarrow{OA}{|}^{2}$,①
在△ABC中由正弦定理得:$\frac{|\overrightarrow{AB}|}{sinC}=\frac{|\overrightarrow{AC}|}{sinB}=2R$,
代入①得,$2RcosB|\overrightarrow{AB}|+2RcosC|\overrightarrow{AC}|=-2λ{(lán)R}^{2}$,
則$cosB|\overrightarrow{AB}|+cosC|\overrightarrow{AC}|=-λR$,②
由正弦定理得,$|\overrightarrow{AB}|=2RsinC$、$|\overrightarrow{AC}|=2RsinB$,
代入②得,2RsinCcosB+2RcosCsinB=-λR;
所以2sin(C+B)=-λ,即2sin$\frac{3π}{4}$=-λ,
解得λ=$-\sqrt{2}$,
故選D.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理,三角形外心的性質(zhì),向量數(shù)量積的運(yùn)算,向量的線性運(yùn)算,以及兩角和的正弦公式的應(yīng)用,考查化簡(jiǎn)、變形能力,分析問題、解決問題的能力.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

3.計(jì)算:求$\underset{lim}{x→0}$$\frac{({∫}_{0}^{x}{e}^{{t}^{2}}dt)^{2}}{{∫}_{0}^{x}t{e}^{2{t}^{2}}dt}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

19.如圖,已知雙曲線C:$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1(a>0,b>0)的右頂點(diǎn)為A,O為坐標(biāo)原點(diǎn),以A為圓心的圓與雙曲線C的某漸近線交于兩點(diǎn)P,Q,若∠PAQ=60°,且$\overrightarrow{OQ}$=3$\overrightarrow{OP}$,則雙曲線的離心率為$\frac{\sqrt{7}}{2}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

16.已知集合P={x∈N|1≤x<10},集合Q={x∈R|x2+x-6=0},則P∩Q=( 。
A.{2}B.{3}C.{-2,3}D..{-3,2}

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

3.設(shè)函數(shù)f(x)=(x2-2ax)lnx+bx2,a,b∈R.
(Ⅰ)當(dāng)a=1,b=0時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;
(Ⅱ)當(dāng)b=2時(shí),若對(duì)任意x∈[1,+∞),不等式2f(x)>3x2+a恒成立.求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

13.如圖是水平放置的△ABC按“斜二測(cè)畫法”得到的直觀圖,其中B′O′=C′O′=$\sqrt{6}$,A′O′=$\frac{\sqrt{3}}{4}$,那么△ABC的面積是( 。
A.$\sqrt{2}$B.$\sqrt{3}$C.$\frac{3\sqrt{2}}{2}$D.3$\sqrt{2}$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

20.已知直線x-y+1=0與曲線y=lnx+a相切,則a的值為-2.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

17.給定函數(shù)(1)y=$\frac{1}{{\sqrt{x}}}$;(2)y=$\frac{5x+2}{x-1}$;(3)y=-|2x+1|;(4)y=2x2+2x-$\frac{3}{2}$其中在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減的函數(shù)序號(hào)是(1),(2),(3).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

18.已知等差數(shù)列{an}滿足:a1=2且a22=a1a5
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)記Sn為數(shù)列{a2n-1}的前n項(xiàng)和,求Sn

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案