Question

17．某幾何體的三視圖如圖．若該幾何體的頂點都在球O的表面上，則球O的體積是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{61}}{6}$π
• B． $\frac{\sqrt{61}}{24}$π
• C． $\frac{61\sqrt{61}}{2}$π
• D． $\frac{61\sqrt{61}}{6}$π

Answer 1

分析 由三視圖可知：該幾何體為如圖所示的三棱錐．其中PA⊥平面ABC，BC⊥平面PAC．設點E為AB的中點，經(jīng)過點E作OE⊥平面ABC，設點O為三棱錐外接球的球心，作OF⊥AP，垂足為點F．根據(jù)OE²+BE²=OF²+PF²，解得OE即可得出．

解答 解：由三視圖可知：該幾何體為如圖所示的三棱錐．其中PA⊥平面ABC，BC⊥平面PAC．
設點E為AB的中點，經(jīng)過點E作OE⊥平面ABC，設點O為三棱錐外接球的球心，
作OF⊥AP，垂足為點F．
則OE²+BE²=OF²+PF²，設OE=x，
則2.5²+x²=2.5²+（6-x）²，解得x=3．
∴外接球的半徑r=$\sqrt{2．{5}^{2}+{3}^{2}}$=$\frac{\sqrt{61}}{2}$．
∴外接球的體積V=$\frac{4π}{3}×（\frac{\sqrt{61}}{2}）^{3}$=$\frac{61\sqrt{61}π}{6}$．
故選：D．

點評 本題考查了三棱錐的三視圖、球的體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．