如圖,經(jīng)過村莊A有兩條夾角為60°的公路AB,AC,根據(jù)規(guī)劃擬在兩條公路之間的區(qū)域內(nèi)建一工廠P,分別在兩條公路邊上建兩個倉庫M、N (異于村莊A),要求PM=PN=MN=2(單位:千米).如何設(shè)計, 可以使得工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最小(即工廠與村莊的距離最遠).
參考解析
解析試題分析:假設(shè)角AMN的值為θ,由三角形AMN中角NAM為.由正弦定理可得到AM的表達式,在三角形AMP中利用余弦定理表示出AP的值,由角θ的取值范圍,再根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性知識即可得到結(jié)論.本小題用了五種解法分別從三角,坐標系,圓等方面入手.
解法一:設(shè)∠AMN=θ,在△AMN中,=.
因為MN=2,所以AM=sin(120°-θ). 2分
在△APM中,cos∠AMP=cos(60°+θ). 4分
AP2=AM2+MP2-2 AM·MP·cos∠AMP=sin2(120°-θ)+4-2×2×sin(120°θ)cos(60°+θ) 6分
=sin2(θ+60°)-sin(θ+60°)cos(θ+60°)+4
=[1-cos (2θ+120°)]-sin(2θ+120°)+4
=-[sin(2θ+120°)+cos (2θ+120°)]+
=-sin(2θ+150°),θ∈(0,120°). 10分
當且僅當2θ+150°=270°,即θ=60°時,AP2取得最大值12,即AP取得最大值2.
答:設(shè)計∠AMN為60°時,工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最小. 12分
解法二(構(gòu)造直角三角形):
設(shè)∠PMD=θ,在△PMD中,
∵PM=2,∴PD=2sinθ,MD=2cosθ. 2分
在△AMN中,∠ANM=∠PMD=θ,∴=,
AM=sinθ,∴AD=sinθ+2cosθ,(θ≥時,結(jié)論也正確). 4分
AP2=AD2+PD2=(sinθ+2cosθ)2+(2sinθ)2
=sin2θ+sinθcosθ+4cos2θ+4sin2θ 6分
=·+sin2θ+4=sin2θ-cos2θ+
=+sin(2θ-),θ∈(0,). 10分
當且僅當2θ-=,即θ=時,AP2取得最大值12,即AP取得最大值2.
此時AM=AN=2,∠PAB=30° 12分
解法三:設(shè)AM=x,AN=y(tǒng),∠AMN=α.
在△AMN中,因為MN=2,∠MAN=60°,
所以MN2=AM2+AN2-2 AM·AN·cos∠MAN,
即x2+y2-2xycos60°=x2+y2-xy=4. 2分
因為=,即=,
所以sinα=y,cosα===. 4分
cos∠AMP=cos(α+60°)=cosα-sinα=
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,貨輪在海上B處,以50海里/時的速度沿方位角(從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角)為155o的方向航行,為了確定船位,在B點處觀測到燈塔A的方位角為125o.半小時后,貨輪到達C點處,觀測到燈塔A的方位角為80o.求此時貨輪與燈塔之間的距離(答案保留最簡根號).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊,向量m=(2sinB,2-cos2B),n=(2sin2(+),-1),且m⊥n.
(1)求角B的大;
(2)求sinA+cosC的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
己知A、B、C分別為△ABC的三邊a、b、c所對的角,向量
,且.
(1)求角C的大小:
(2)若sinA,sinC,sinB成等差數(shù)列,且,求邊c的長.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),.
(1)求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)已知中的三個內(nèi)角所對的邊分別為,若銳角滿足,且,,求的面積.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(2013•重慶)在△ABC中,內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c,且a2=b2+c2+bc.
(1)求A;
(2)設(shè)a=,S為△ABC的面積,求S+3cosBcosC的最大值,并指出此時B的最值.
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