Question

9．《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．在如圖所示的陽馬P-ABCD中，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，點E是PC的中點，連接DE，BD，BE．
（1）證明：DE⊥平面PBC．
（2）試判斷四面體EBCD是否為鱉臑，若是，寫出其每個面的直角（只需寫出結(jié)論）；若不是，請說明理由；
（3）記陽馬P-ABCD的體積為V₁，四面體EBCD的體積為V₂，求$\frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}$的值．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出PD⊥BC，BC⊥CD，從而BC⊥平面PCD，進而BC⊥DE，再由DE⊥PC，能證明DE⊥平面PBC．
（2）由BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，能得到四面體EBCD是一個鱉臑，其四個面的直角分別是∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB．
（3）由PD是陽馬P-ABCD的高，得到${V}_{1}=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}•PD$=$\frac{1}{3}×BC×CD×PD$；由DE是鱉臑D-BCE的高，得到${V}_{2}=\frac{1}{3}{S}_{△BCE}•DE=\frac{1}{6}×BC×CE×DE$．由此能求出$\frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}$的值．

解答 證明：（1）因為PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC．…（1分）
由底面ABCD為長方形，有BC⊥CD，而PD∩CD=D，
所以BC⊥平面PCD．…（3分）
DE?平面PCD，所以BC⊥DE．…（4分）
又因為PD=CD，點E是PC的中點，所以DE⊥PC． …（5分）
而PC∩BC=C，所以DE⊥平面PBC．…（6分）
解：（2）由BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，
可知四面體EBCD的四個面都是直角三角形，即四面體EBCD是一個鱉臑，…（7分） 
其四個面的直角分別是∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB．…（8分）
（3）由已知，PD是陽馬P-ABCD的高，
所以${V}_{1}=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}•PD$=$\frac{1}{3}×BC×CD×PD$；…（8分）
由（1）知，DE是鱉臑D-BCE的高，BC⊥CE，…（9分）
所以${V}_{2}=\frac{1}{3}{S}_{△BCE}•DE=\frac{1}{6}×BC×CE×DE$．
在Rt△PDC中，因為PD=CD，點E是PC的中點，所以DE=CE+$\frac{\sqrt{2}}{2}CD$，…（10分）
于是 $\frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}=\frac{\frac{1}{3}BC•CD•PD}{\frac{1}{6}BC•CE•DE}$=$\frac{2CD•PD}{CE•DE}$=4．…（12分）

點評 本題考查線面垂直的證明，考查四面體EBCD是否為鱉臑的判斷，考查兩個幾何體的比值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．