Question

8．設(shè)數(shù)列{a_n}首項a₁=2，前n項和為S_n，且滿足2a_n+1+S_n=3（n∈N^*），則滿足$\frac{34}{33}$＜$\frac{{{S_{2n}}}}{S_n}$＜$\frac{16}{15}$的所有n的和為9．

Answer 1

分析 由題意可知2a_n+1+S_n=3（n∈N^*），2a_n+2+S_n+1=3，2a_n+2+S_n+1-2a_n+1-S_n=0，求得2a_n+2=a_n+1，數(shù)列{a_n}是公比q=$\frac{1}{2}$，首項a₁=2的等比數(shù)列，則S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=4-4（$\frac{1}{2}$）ⁿ，$\frac{{{S_{2n}}}}{S_n}$=$\frac{4-4•（\frac{1}{2}）^{2n}}{4-4•（\frac{1}{2}）^{n}}$=1+（$\frac{1}{2}$）ⁿ，則$\frac{34}{33}$＜1+（$\frac{1}{2}$）ⁿ＜$\frac{16}{15}$，即可求得n的所有值，求得滿足$\frac{34}{33}$＜$\frac{{{S_{2n}}}}{S_n}$＜$\frac{16}{15}$的所有n的和．

解答 解：由2a_n+1+S_n=3（n∈N^*），
∴2a_n+2+S_n+1=3，
兩式相減得2a_n+2+S_n+1-2a_n+1-S_n=0，
即2a_n+2+a_n+1-2a_n+1=0，
則2a_n+2=a_n+1，
當(dāng)n=1時，2a₂+a₁=3，
則a₂=$\frac{1}{2}$，滿足2a₂=a₁，
即2a_n+1=a_n，則$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$，即數(shù)列{a_n}是公比q=$\frac{1}{2}$，首項a₁=2的等比數(shù)列，
則數(shù)列{a_n}前n項和為S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=4-4（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴$\frac{{{S_{2n}}}}{S_n}$=$\frac{4-4•（\frac{1}{2}）^{2n}}{4-4•（\frac{1}{2}）^{n}}$=1+（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∵$\frac{34}{33}$＜$\frac{{{S_{2n}}}}{S_n}$＜$\frac{16}{15}$，即$\frac{34}{33}$＜1+（$\frac{1}{2}$）ⁿ＜$\frac{16}{15}$，
$\frac{1}{33}$＜（$\frac{1}{2}$）ⁿ＜$\frac{1}{15}$，
則15＜2ⁿ＜33，
則n=4或5，
則4+5=9，
故答案為：9．

點評 本題主要考查遞推數(shù)列的應(yīng)用，根據(jù)遞推數(shù)列得到數(shù)列通項公式及前n項和公式的應(yīng)用，指數(shù)函數(shù)比較大小，考查計算能力，屬于中檔題．