Question

19．已知函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，對?x∈R都有f（x-1）=f（x+1）成立，當x∈（0，1）且x₁≠x₂時，有$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜0，給出下列命題：
①f（1）=0；
②f（x）在[-2，2]上有3個零點；
③點（2014，0）是函數(shù)y=f（x）的一個對稱中心；
④直線x=2014是函數(shù)y=f（x）圖象的一條對稱軸．
則正確的是①③．

Answer 1

分析 根據(jù)已知，分析出函數(shù)的周期和單調性，進而畫出滿足條件的函數(shù)的草圖，逐一分析四個結論的真假，可得答案．

解答 解：∵對?x∈R都有f（x-1）=f（x+1）成立，
∴對?x∈R都有f（x+2）=f（x）成立，
即函數(shù)y=f（x）是周期為2的周期函數(shù)，
∴f（1）=f（-1）．
∵當x∈（0，1]且x₁≠x₂時，有$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜0，
∴在區(qū)間（0，1]上函數(shù)為減函數(shù)．
又∵函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（1）=-f（-1）．
∴f（1）=0，即①正確；
滿足條件的函數(shù)y=f（x）的草圖如下所示：

由圖可知：
f（x）在[-2，2]上有：-2，-1，0，1，2，共5個零點，即②錯誤；
所有（k，0）（k∈Z）點均為函數(shù)的對稱中心，
故（3）（2014，0）是函數(shù)y=f（x）的一個對稱中心，③正確；
函數(shù)y=f（x）圖象無對稱軸，故④錯誤；
則正確命題個數(shù)是①③，
故答案為：①③．

點評 本題考查的知識點是函數(shù)奇偶性的性質，函數(shù)的周期性，函數(shù)的單調性，是函數(shù)圖象和性質的綜合應用，難度中檔．