Question

2．已知圓C：（x-3）²+（y-t）²=t²（t≠0，t∈R），A（-3，0），B（3，2t），F(xiàn)（2，0）．
（1）若過A傾斜角為60°的直線與圓C相切，求t的值；
（2）過F且傾斜角不為0的直線l與圓C相切，l與AB交于M，求點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）過A傾斜角為60°的直線方程為$\sqrt{3}$x-y+3$\sqrt{3}$=0，利用過A傾斜角為60°的直線與圓C相切，建立方程，即可求t的值；
（2）求出兩條直線方程，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求點(diǎn)M的軌跡方程．

解答 解：（1）過A傾斜角為60°的直線方程為$\sqrt{3}$x-y+3$\sqrt{3}$=0，
∵過A傾斜角為60°的直線與圓C相切，
∴圓心到直線的距離d=$\frac{|3\sqrt{3}-t+3\sqrt{3}|}{\sqrt{3+1}}$=|t|，∴t=-6$\sqrt{3}$或2$\sqrt{3}$
（2）設(shè)直線l的方程為y=k（x-2），則$\frac{|k-t|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=|t|，解得k=$\frac{2t}{1-{t}^{2}}$（k=0舍去）．
直線AB的方程為y=$\frac{t}{3}$x+t，與直線方程y=$\frac{2t}{1-{t}^{2}}$（x-2），聯(lián)立，可得x=$\frac{15-3{t}^{2}}{{t}^{2}+5}$，y=$\frac{10t}{{t}^{2}+5}$，
消去t可得$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}$=1．

點(diǎn)評 本題考查軌跡方程，考查直線與圓位置關(guān)系的運(yùn)用，考查參數(shù)法，屬于中檔題．