Question

10．如圖，在幾何體ABCDEF中，底面ABCD為矩形，EF∥CD，CD⊥EA，CD=2EF=2，ED=$\sqrt{3}$．M為棱FC上一點(diǎn)，平面ADM與棱FB交于點(diǎn)N．
（Ⅰ）求證：ED⊥CD；
（Ⅱ）求證：AD∥MN；
（Ⅲ）若AD⊥ED，試問(wèn)平面BCF是否可能與平面ADMN垂直？若能，求出$\frac{FM}{FC}$的值；若不能，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明：CD⊥平面EAD，即可證明ED⊥CD；
（Ⅱ）證明AD∥平面FBC，即可證明：AD∥MN；
（Ⅲ）若使平面ADMN⊥平面BCF，則DM⊥平面BCF，所以DM⊥FC，可得DF=DC=2．若使DM⊥FC能成立，則M為FC的中點(diǎn)．

解答 （Ⅰ）證明：因?yàn)锳BCD為矩形，所以VD⊥AD．[（1分）]
又因?yàn)镃D⊥EA，[（2分）]
所以CD⊥平面EAD．[（3分）]
所以ED⊥CD．[（4分）]
（Ⅱ）證明：因?yàn)锳BCD為矩形，所以AD∥BC，[（5分）]
所以AD∥平面FBC．[（7分）]
又因?yàn)槠矫鍭DMN∩平面FBC=MN，
所以AD∥MN．[（8分）]
（Ⅲ）解：平面ADMN與平面BCF可以垂直．證明如下：[（9分）]
連接DF．因?yàn)锳D⊥ED，AD⊥CD．ED∩CD=D，
所以AD⊥平面CDEF．[（10分）]
所以AD⊥DM．
因?yàn)锳D∥MN，所以DM⊥MN．[（11分）]
因?yàn)槠矫鍭DMN∩平面FBC=MN，
若使平面ADMN⊥平面BCF，
則DM⊥平面BCF，所以DM⊥FC．[（12分）]
在梯形CDEF中，因?yàn)镋F∥CD，DE⊥CD，CD=2EF=2，ED=$\sqrt{3}$，
所以DF=DC=2．
所以若使DM⊥FC能成立，則M為FC的中點(diǎn)．
所以$\frac{FM}{FC}$=$\frac{1}{2}$．[（14分）]

點(diǎn)評(píng) 本題考查線(xiàn)面平行的判定與性質(zhì)，考查線(xiàn)面垂直、面面垂直，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．