Question

15．已知f'（x）=2x+m，且f（0）=0，函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線的斜率為3，數(shù)列$\left\{{\frac{1}{f（n）}}\right\}$的前n項(xiàng)和為S_n，則S₂₀₁₇的值為（　�。�

• A． $\frac{2017}{2018}$
• B． $\frac{2014}{2015}$
• C． $\frac{2015}{2016}$
• D． $\frac{2016}{2017}$

Answer 1

分析 由題意可設(shè)f（x）=x²+mx+c，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，由條件可得m，c的值，求出$\frac{1}{f（n）}$=$\frac{1}{{n}^{2}+n}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，再由數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，計(jì)算即可得到所求和．

解答 解：f'（x）=2x+m，可設(shè)f（x）=x²+mx+c，
由f（0）=0，可得c=0．
可得函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線的斜率為2+m=3，
解得m=1，
即f（x）=x²+x，
則$\frac{1}{f（n）}$=$\frac{1}{{n}^{2}+n}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
數(shù)列$\left\{{\frac{1}{f（n）}}\right\}$的前n項(xiàng)和為S_n，
則S₂₀₁₇=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2017}$-$\frac{1}{2018}$=1-$\frac{1}{2018}$=$\frac{2017}{2018}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的求法，注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)公式，考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．