Question

17．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的上頂點(diǎn)B到兩焦點(diǎn)的距離和為4，離心率$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)A為橢圓C的右頂點(diǎn)，過點(diǎn)A作相互垂直的兩條射線，與橢圓C分別交于不同的兩點(diǎn)M，N（M，N不與左、右頂點(diǎn)重合），試判斷直線MN是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由利用已知條件列出$\left\{\begin{array}{l}2a=4\\ e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}\\{a^2}={b^2}+{c^2}\end{array}\right.$，求解可得橢圓方程．
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），當(dāng)直線MN的斜率不存在時，推出直線MN過點(diǎn)$（{\frac{6}{5}，0}）$，
當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線MN的方程為y=kx+m，由方程組$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+{y^2}=1\\ y=kx+m\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，△＞0，得到4k²-m²+1＞0，利用韋達(dá)定理，結(jié)合AM⊥AN，橢圓的右頂點(diǎn)為（2，0），通過（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=0，求解當(dāng)$m=-\frac{6}{5}k$時，直線l的方程$y=k（{x-\frac{6}{5}}）$過定點(diǎn)$（{\frac{6}{5}，0}）$，推出結(jié)果．

解答 解：（Ⅰ）由題意知：$\left\{\begin{array}{l}2a=4\\ e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}\\{a^2}={b^2}+{c^2}\end{array}\right.$，解得$a=2，b=1，c=\sqrt{3}$，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
當(dāng)直線MN的斜率不存在時，MN⊥x軸，△MNA為等腰直角三角形，∴|y₁|=|2-x₁|，
又$\frac{{{x_1}^2}}{4}+{y_1}^2=1$，
解得：${x_1}=\frac{6}{5}$，
此時，直線MN過點(diǎn)$（{\frac{6}{5}，0}）$，
當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線MN的方程為y=kx+m，
由方程組$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+{y^2}=1\\ y=kx+m\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
△=（8km）²-4（1+4k²）（4m²-4）＞0，
整理得4k²-m²+1＞0，
則${x_1}+{x_2}=-\frac{8km}{{1+4{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{4{m^2}-4}}{{1+4{k^2}}}$，
由已知AM⊥AN，且橢圓的右頂點(diǎn)為（2，0），
所以（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=0，${y_1}{y_2}=（{k{x_1}+m}）（{k{x_2}+m}）={k^2}{x_1}{x_2}+km（{{x_1}+{x_2}}）+{m^2}$，
所以$（{{x_1}-2}）（{{x_2}-2}）+{y_1}{y_2}=（{1+{k^2}}）{x_1}{x_2}+（{km-2}）（{{x_1}+{x_2}}）+{m^2}+4=0$，
即$（{1+{k^2}}）\frac{{4{m^2}-4}}{{1+4{k^2}}}+（{km-2}）•\frac{-8km}{{1+4{k^2}}}+{m^2}+4=0$，
整理得5m²+16km+12k²=0，
解得：m=-2k或$m=-\frac{6}{5}k$，均滿足△＞0，
當(dāng)m=-2k時，直線l的方程y=kx-2k過頂點(diǎn)（2，0），與題意矛盾舍去，
當(dāng)$m=-\frac{6}{5}k$時，直線l的方程$y=k（{x-\frac{6}{5}}）$過定點(diǎn)$（{\frac{6}{5}，0}）$，
故直線過定點(diǎn)，且定點(diǎn)是$（{\frac{6}{5}，0}）$．

點(diǎn)評 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，直線恒過定點(diǎn)問題，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．