Question

如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面為直角梯形，，且PA=AB=BC=1，AD=2．

（Ⅰ）設M為PD的中點，求證：平面PAB；
（Ⅱ）求側面PAB與側面PCD所成二面角的平面角的正切值．

Answer 1

解法一：（Ⅰ）證明：取PA的中點N，連結BN、NM，在△PAD中，，且；又，且，所以MNBC，即四邊形BCMN為平行四邊形，.又平面PAB，平面PAB，故平面PAB.              ……5分
（Ⅱ）在平面ABCD中，AB與CD不平行，延長AB、CD交于一點，設為E，連結PE，則PE為側面PAB與側面PCD所成二面角的棱，又由題設可知側面PAB，于是過A作于F，連結DF，由三垂線定理可知AFD為側面PAB與側面PCD所成二面角的平面角.                                          ……8分
在△EAD中，由，，知B為AE為中點，∴AE=2，在Rt△PAE中，PA=1，AE=2，∴，故，
即所求側面PAB與側面PCD所成二面角的平面角的正切值為        ……12分
 
解法二：以A為坐標原點，以AB、AD、AP所在直線為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1）.  ……2分
（Ⅰ）由M為PD中點知M的坐標為（0，1，1），所以，又平面PAB的法向量可取為 ∴，即. 又平面PAB，所以平面PAB.                                                          ……6分
（Ⅱ）設平面PCD的法向量為 
∵，∴ 
不妨取 則 ∴ 
又平面PAB的法向量為 
設側面PAB與側面PCD所成二面角的平面角大小為，
則由的方向可知，，∴ 
即所求側面PAB與側面PCD所成二面角的平面角的正切值為      ……12分
(解法三：因為側面PAB，側面PAB，所以也可以考慮用射影面積來求解)

略