Question

19．已知△ABC的三邊AB，BC，AC的長依次成等差數(shù)列，且|AB|＞|AC|，B（-1，0）C（1，0）則頂A的軌跡方程為（　　）

• A． $\frac{x^2}{{{4^{\;}}}}+\frac{y^2}{3}=1$
• B． $\frac{x^2}{{{4^{\;}}}}+\frac{y^2}{3}=1$（x＜0）
• C． $\frac{y^2}{{{4^{\;}}}}+\frac{x^2}{3}=1$
• D． $\frac{x^2}{{{4^{\;}}}}+\frac{y^2}{3}=1$（x＞0）

Answer 1

分析 通過等差數(shù)列推出，|AB|+|AC|=2|BC|=4 按照橢圓的定義，點A的軌跡就是以B、C為焦點，到B、C距離之和為4的橢圓，從而進一步可求橢圓的方程．

解答 解：已知AB、BC、CA成等差數(shù)列，則：|AB|+|AC|=2|BC|
∵點B（-1，0），C（1，0），∴|BC|=2
所以，|AB|+|AC|=2|BC|=4
按照橢圓的定義，點A的軌跡就是以B、C為焦點，到B、C距離之和為4的橢圓
由已知有：c=1，a=2
所以，b²=a²-c²=4-1=3
又已知|AB|＞|AC|
所以點A位于上述橢圓的右半部分，且點A不能與B、C在同一直線（x軸）上（否則就不能構成三角形）
所以，點A的軌跡方程是：$\frac{x^2}{{{4^{\;}}}}+\frac{y^2}{3}=1$（x＞0），
故選D．

點評 本題是中檔題，考查橢圓的定義，等差數(shù)列的應用，正確運用橢圓的定義是解題的關鍵，同時應注意變量的范圍．