Question

9．已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為a，過B₁作B₁E⊥BD₁于點E，則A、E兩點之間的距離為$\frac{\sqrt{6}}{3}a$．

Answer 1

分析 建立坐標系，設$\overrightarrow{BE}$=λ$\overrightarrow{B{D}_{1}}$，根據(jù)B₁E⊥BD₁計算λ，得出$\overrightarrow{AE}$的坐標，從而計算出|AE|．

解答 解：以B₁為原點建立空間直角坐標系，如圖所示：
則B₁（0，0，0），A（a，0，a），B（0，0，a），D₁（a，a，0），
∴$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=（a，a，-a），$\overrightarrow{{B}_{1}B}$=（0，0，a），
設$\overrightarrow{BE}=λ\overrightarrow{B{D}_{1}}$=（λa，λa，-λa），∴$\overrightarrow{{B}_{1}E}$=$\overrightarrow{{B}_{1}B}$+$\overrightarrow{BE}$=（λa，λa，a-λa），
∵B₁E⊥BD₁，∴$\overrightarrow{{B}_{1}E}•\overrightarrow{B{D}_{1}}$=0，
∴λa²+λa²-a²+λa²=0，∴λ=$\frac{1}{3}$．
∴$\overrightarrow{BE}$=（$\frac{1}{3}$a，$\frac{1}{3}$a，-$\frac{1}{3}$a），
∴$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}$=（-$\frac{2}{3}$a，$\frac{1}{3}$a，-$\frac{1}{3}$a），
∴|AE|=|$\overrightarrow{AE}$|=$\sqrt{\frac{4{a}^{2}}{9}+\frac{{a}^{2}}{9}+\frac{{a}^{2}}{9}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}a$．
故答案為$\frac{\sqrt{6}}{3}a$．

點評 本題考查了空間距離的計算，屬于中檔題．