如圖，在直三棱柱中，，．若為的中點(diǎn)，求直線(xiàn)與平面所成的角.

60°

解析試題分析：因?yàn)樵谥比庵?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/0d/a/afae72.png" style="vertical-align:middle;" />中，，．若為的中點(diǎn)，需求直線(xiàn)與平面所成的角.可以建立直角坐標(biāo)系，通過(guò)平面的法向量與直線(xiàn)所在的向量的夾角的余弦值即為直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.即可得結(jié)論.另外也可以通過(guò)構(gòu)建直線(xiàn)所成的角，通過(guò)解三角形求得結(jié)論.
試題解析：方法一：如圖1以為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為軸，所在直線(xiàn)為軸，
所在直線(xiàn)為軸建系，則，則            2分；

設(shè)平面A1BC1的一個(gè)法向量，則，
則，取，則                   6分
設(shè)AD與平面A1BC1所成的角為，

則=                               10分
則,∴AD與平面A1BC1所成的角為             12分
方法二：由題意知四邊形AA1B1B是正方形，故AB1⊥BA1．
由AA1⊥平面A1B1C1得AA1⊥A1C1．
又A1C1⊥A1B1，所以A1C1⊥平面AA1B1B，故A1C1⊥AB1．
從而得 AB1⊥平面A1BC1．                                                4分
設(shè)AB1與A1B相交于點(diǎn)O，則點(diǎn)O是線(xiàn)段AB1的中點(diǎn)．
連接AC1，由題意知△AB1C1是正三角形．
由AD，C1O是△AB1C1的中線(xiàn)知：AD與C1O的交點(diǎn)為重心G，連接OG．
知AB1⊥平面A1BC1，故OG是AD在平面A1BC1上的射影，
于是∠AGO是AD與平面A1BC1所成的角．                                      6分
在直角△AOG中，AG＝AD＝AB1＝AB， AO＝AB，
所以sin∠AGO＝＝．                                           10分
故∠AGO＝60°，即AD與平面A1BC1所成的角為60°．&

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面ABCD，AD//BC，BC=2AD，AC，Q是線(xiàn)段PB的中點(diǎn).

（1）求證：平面PAC；
（2）求證：AQ//平面PCD.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面底面，，分別為，中點(diǎn)，．
（Ⅰ）求證：∥平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）在棱上是否存在一點(diǎn)，使平面？若存在，指出點(diǎn)的位置；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，四邊形ABCD是菱形，四邊形MADN是矩形，平面MADN平面ABCD，E，F(xiàn)分別為MA，DC的中點(diǎn)，求證：

(1)EF//平面MNCB；
(2)平面MAC平面BND．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，四棱錐的底面為一直角梯形，側(cè)面PAD是等邊三角形，其中，,平面底面，是的中點(diǎn)．
 
(1)求證：//平面；
(2)求證：；
(3)求與平面所成角的正弦值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

四棱錐底面是菱形，，,分別是的中點(diǎn).

（1）求證:平面⊥平面；
（2）是上的動(dòng)點(diǎn)，與平面所成的最大角為，求二面角的正切值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，四邊形ABCD與四邊形都為正方形，，F(xiàn)
為線(xiàn)段的中點(diǎn)，E為線(xiàn)段BC上的動(dòng)點(diǎn).

（1）當(dāng)E為線(xiàn)段BC中點(diǎn)時(shí)，求證：平面AEF；
（2）求證：平面AEF平面；
（3）設(shè)，寫(xiě)出為何值時(shí)MF⊥平面AEF(結(jié)論不要求證明).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D為AC中點(diǎn)，于（不同于點(diǎn)），延長(zhǎng)AE交BC于F，將△ABD沿BD折起，得到三棱錐，如圖2所示.

（1）若M是FC的中點(diǎn)，求證：直線(xiàn)//平面；
（2）求證：BD⊥；
（3）若平面平面，試判斷直線(xiàn)與直線(xiàn)CD能否垂直？并說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1B⊥平面ABC，AB⊥AC，且AB＝AC＝A1B＝2.

(1)求棱AA1與BC所成的角的大小；
(2)在棱B1C1上確定一點(diǎn)P，使二面角P－AB－A1的平面角的余弦值為.

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