Question

16．已知數(shù)列{a_n}的前n項和，${S_n}=\frac{{3{n^2}-n}}{2}$．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）設${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，若對?n∈N^*，t≤4T_n恒成立，求實數(shù)t的最大值．

Answer 1

分析 （1）分類討論：n=1時，a₁=S₁；n≥2時，a_n=S_n-S_n-1；
（2）利用裂項相消法求和，然后根據(jù)t≤4T_n恒成立來求t的最大值．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}的前n項和，${S_n}=\frac{{3{n^2}-n}}{2}$，
∴a₁=S₁=1，
n≥2時，S_n-S_n-1=$\frac{3{n}^{2}-n}{2}$-$\frac{3（n-1）^{2}-（n-1）}{2}$=3n-2，
n=1時，上式成立，
∴a_n=3n-2．
（2）由a_n=3n-2，可得${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{{（{3n-2}）（{3n+1}）}}=\frac{1}{3}（{\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}}），{T_n}={b_1}+{b_2}+…+{b_n}$=$\frac{1}{3}[{（{1-\frac{1}{4}}）+（{\frac{1}{4}-\frac{1}{7}}）+…+（{\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}}）}]=\frac{n}{3n+1}$．
因為${T_{n+1}}-{T_n}=\frac{n+1}{{3（{n+1}）+1}}-\frac{n}{3n+1}=\frac{1}{{（{3n+1}）（{3n+4}）}}＞0$，
所以T_n+1＞T_n，所以數(shù)列{T_n}是遞增數(shù)列．
所以$t≤4{T_n}?\frac{t}{4}≤{T_n}?\frac{t}{4}≤{T_1}=\frac{1}{4}?t≤1$，
所以實數(shù)t的最大值是1．

點評 本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式構造等差數(shù)列求數(shù)列的通項公式，及數(shù)列的裂項求和方法的應用及恒成立與最值求解的應用．