Question

14．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)，A，B分別為左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)F做x軸的垂線交雙曲線于點(diǎn)P，Q，連接PB交y軸于點(diǎn)E，連結(jié)AE交QF于點(diǎn)M，若M是線段QF的中點(diǎn)，則雙曲線C的離心率為（　　）

• A． 2
• B． $\frac{5}{2}$
• C． 3
• D． $\frac{7}{2}$

Answer 1

分析 利用已知條件求出P的坐標(biāo)，然后求解E的坐標(biāo)，推出M的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到雙曲線的離心率即可．

解答 解：由題意可得P（-c，$\frac{^{2}}{a}$），B（a，0），可得BP的方程為：y=-$\frac{^{2}}{a（a+c）}$（x-a），
x=0時(shí)，y=$\frac{^{2}}{a+c}$，E（0，$\frac{^{2}}{a+c}$），A（-a，0），
則AE的方程為：y=$\frac{^{2}}{a（a+c）}$（x+a），則M（-c，-$\frac{^{2}（c-a）}{a（a+c）}$），
M是線段QF的中點(diǎn)，
可得：2$\frac{^{2}（c-a）}{a（a+c）}$=$\frac{^{2}}{a}$，
即2c-2a=a+c，
可得e=3．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．