Question

14．在平面直角坐標系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3+cosθ}\\{y=4+sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．以原點為極點、x軸正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C₂：ρ（sinθ-kcosθ）=3，k為實數(shù)．
（1）求曲線C₁的普通方程及曲線C₂的直角坐標方程；
（2）若點P在曲線C₂上，從點P向C₁作切線，切線長的最小值為2$\sqrt{2}$，求實數(shù)k的值．

Answer 1

分析 （1）∵曲線C₁的參數(shù)方程消去參數(shù)，能求出曲線C₁的普通方程；由ρsinθ=y，ρcosθ=x，能求出曲線C₂的直角坐標方程．
（2）由切線長的最小值為2$\sqrt{2}$，得到圓心C₁（3，4）到直線C₂：y=kx+3的距離為3，由此利用點到直線的距離公式能求出實數(shù)k的值．

解答 解：（1）∵曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3+cosθ}\\{y=4+sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），
∴曲線C₁的普通方程為（x-3）²+（y-4）²=1，
∵曲線C₂：ρ（sinθ-kcosθ）=3，k為實數(shù)，
ρsinθ=y，ρcosθ=x，
∴曲線C₂的直角坐標方程y=kx+3．…（5分）
（2）∵切線長的最小值為2$\sqrt{2}$，
∴圓心C₁（3，4）到直線C₂：y=kx+3的距離為：d=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}+{1}^{2}}$=3，
∴d=$\frac{|3k-4+3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=3，
解得k=-$\frac{4}{3}$．…（10分）

點評 本題考查直線、圓的直角坐標方程的求法，考查實數(shù)值的求法，考查極坐標方程、直角坐標方程、參數(shù)方程的互化，考查兩點間距離公式、點到直線的距離公式、考查推理論證能力、運算求解能力，考查轉化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．